הבדלים בין גרסאות בדף "המספר e"

גרסה מ־09:41, 21 בדצמבר 2011

המספר e

הוכחנו בהרצאה כי לסדרה $a_n=\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n$ יש גבול ממשי. אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.

e:=\lim\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n

משפט. תהי $a_n$ סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי $e=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n}$

משפט. תהי $a_n$ סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי $b_n$ סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי $e^L=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n\cdot b_n}$

תרגיל.

חשב את גבול הסדרה $a_n=\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n$

פתרון. נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.

\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n=\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n=\Big(\big(\frac{n}{n-1}\big)^{-1}\Big)^n=

=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{-n}=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}

כיוון ש $\frac{-n}{n-1}\rightarrow (-1)$ אנו מקבלים כי

$\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\rightarrow e^{-1}=\frac{1}{e}$

@@ שורה 10: / שורה 10: @@
 '''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי <math>e^L=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n\cdot b_n}</math>
+<font size=4 color=#a7adcd>
+'''תרגיל.'''
+</font>
+חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n</math>
+'''פתרון.''' נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
+::<math>\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n=\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n=\Big(\big(\frac{n}{n-1}\big)^{-1}\Big)^n=</math>
+::<math>=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{-n}=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}</math>
+כיוון ש <math>\frac{-n}{n-1}\rightarrow (-1)</math> אנו מקבלים כי
+<math>\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\rightarrow e^{-1}=\frac{1}{e}</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "המספר e"

גרסה מ־09:41, 21 בדצמבר 2011

המספר e

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים