הבדלים בין גרסאות בדף "המספר e"

גרסה מ־21:14, 19 בינואר 2012

המספר e

הוכחנו בהרצאה כי לסדרה $a_n=\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n$ יש גבול ממשי. אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.

e:=\lim\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n

משפט. תהי $a_n$ סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי $e=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n}$

משפט. תהי $a_n$ סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי $b_n$ סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי $e^L=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n\cdot b_n}$

תרגיל.

חשב את גבול הסדרה $a_n=\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n$

פתרון. נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.

\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n=\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n=\Big(\big(\frac{n}{n-1}\big)^{-1}\Big)^n=

=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{-n}=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}

כיוון ש $\frac{-n}{n-1}\rightarrow (-1)$ אנו מקבלים כי

$\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\rightarrow e^{-1}=\frac{1}{e}$

תכונות

לכל מספר טבעי n מתקיים כי:

\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}<e<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}

הוכחה:

e מוגדר כגבול הסדרה השמאלית, לכן מספיק להוכיח כי היא מונוטונית עולה שכן גבול סדרה מונוטונית עולה תמיד גדול מאבריה.

כמו כן:

\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\rightarrow e\cdot 1

לכן מספיק להוכיח כי סדרה זו מונוטונית יורדת, וכך נעשה.

@@ שורה 31: / שורה 31: @@
 <math>\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\rightarrow e^{-1}=\frac{1}{e}</math>
+==תכונות ==
+לכל מספר טבעי n מתקיים כי:
+::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}<e<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
+'''הוכחה:'''
+e מוגדר כגבול הסדרה השמאלית, לכן מספיק להוכיח כי היא מונוטונית עולה שכן גבול סדרה מונוטונית עולה תמיד גדול מאבריה.
+כמו כן:
+::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\rightarrow e\cdot 1</math>
+לכן מספיק להוכיח כי סדרה זו מונוטונית יורדת, וכך נעשה.

הבדלים בין גרסאות בדף "המספר e"

גרסה מ־21:14, 19 בינואר 2012

המספר e

תכונות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים