הבדלים בין גרסאות בדף "המספר e"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(תכונות)
שורה 2: שורה 2:
  
 
==המספר e==
 
==המספר e==
לסדרה <math>a_n=\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.
+
לסדרה <math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.
  
::<math>e:=\lim\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n</math>
+
::<math>e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
  
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n}</math>
+
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}</math>
  
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי <math>e^L=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n\cdot b_n}</math>
+
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי <math>e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}</math>
  
  
<font size=4 color=#a7adcd>
+
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
'''תרגיל.'''  
+
</font>
+
  
חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n</math>
+
חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n</math>
  
  
שורה 21: שורה 19:
  
  
::<math>\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n=\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n=\Big(\big(\frac{n}{n-1}\big)^{-1}\Big)^n=</math>
+
:<math>\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n=</math>
  
  
::<math>=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{-n}=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}</math>
+
:<math>=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}</math>
  
  
כיוון ש <math>\frac{-n}{n-1}\rightarrow (-1)</math> אנו מקבלים כי
+
כיון ש- <math>\frac{-n}{n-1}\to(-1)</math> אנו מקבלים כי
  
<math>\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\rightarrow e^{-1}=\frac{1}{e}</math>
+
<math>\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=e^{-1}=\frac{1}{e}</math>
 
+
==תכונות ==
+
  
 +
==תכונות==
 
הסדרה <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי:
 
הסדרה <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי:
  
  
::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}<e<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
+
:<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>
  
  
'''הוכחה:'''
+
;הוכחה:
  
אפשר להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.  
+
אפשר להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.
  
 
מובן מאליו כי
 
מובן מאליו כי
  
::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
+
:<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>
  
 
אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
 
אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
שורה 51: שורה 48:
 
כמו כן:
 
כמו כן:
  
::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\rightarrow e\cdot 1</math>
+
:<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\to e\cdot1</math>
  
 
וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.
 
וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.
שורה 60: שורה 57:
 
נסמן
 
נסמן
  
::<math>a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
+
:<math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>
  
 
רוצים להוכיח
 
רוצים להוכיח
  
::<math>a_{n+1}<a_n</math>
+
:<math>a_{n+1}<a_n</math>
  
 
כלומר
 
כלומר
  
::<math>\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)^{n+2}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
+
:<math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>
  
נפתח את אי השיוויון:
+
נפתח את אי-השוויון:
  
::<math>\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)^{n+1}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
+
:<math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>
  
 +
:<math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}</math>
  
::<math>\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)<\Big(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}}\Big)^{n+1}=\Big(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\Big)^{n+1}
 
=\Big(1+\frac{1}{n(n+2)}\Big)^{n+1}
 
</math>
 
  
 +
כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
  
 כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
+
:<math>\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}=1+\frac{n+1}{n(n+2)}+\cdots>1+\frac{n+1}{n(n+2)}</math>
 
+
::<math>\Big(1+\frac{1}{n(n+2)}\Big)^{n+1}=1+\frac{n+1}{n(n+2)}+...>1+\frac{n+1}{n(n+2)}</math>
+
  
 
לכן מספיק להוכיח כי
 
לכן מספיק להוכיח כי
  
::<math>1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{n+1}{n(n+2)}</math>
+
:<math>1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{n+1}{n(n+2)}</math>
  
 
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
 
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
  
::<math>1<\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>
+
:<math>1<\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>
  
 
==דוגמאות==
 
==דוגמאות==
 +
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
  
<font size=4 color=#a7adcd>
+
מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>
'''תרגיל.'''
+
</font>
+
 
+
מצא את גבול הסדרה <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>
+
  
::<math>\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}</math>
+
:<math>\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}</math>
  
לכן לפי משפט אם <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\rightarrow L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\rightarrow L</math>.
+
לכן לפי משפט אם <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> .
  
לכן הגבול הינו:
+
לכן הגבול הנו:
  
::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^{n}}{n^n}=e</math>
+
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n}}{n^n}=e</math>

גרסה מ־21:15, 8 בנובמבר 2016

חזרה לסדרות

המספר e

לסדרה a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.

e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

משפט. תהי a_n סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}

משפט. תהי a_n סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי b_n סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}


תרגיל.

חשב את גבול הסדרה a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n


פתרון. נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.


\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n=


=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}


כיון ש- \frac{-n}{n-1}\to(-1) אנו מקבלים כי

\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=e^{-1}=\frac{1}{e}

תכונות

הסדרה \left(1+\frac{1}{n}\right)^n מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי:


\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}


הוכחה

אפשר להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.

מובן מאליו כי

\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}

אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

כמו כן:

\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\to e\cdot1

וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.


נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת:

נסמן

a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}

רוצים להוכיח

a_{n+1}<a_n

כלומר

\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}

נפתח את אי-השוויון:

\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}


כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:

\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}=1+\frac{n+1}{n(n+2)}+\cdots>1+\frac{n+1}{n(n+2)}

לכן מספיק להוכיח כי

1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{n+1}{n(n+2)}

אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:

1<\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}

דוגמאות

תרגיל.

מצא את גבול הסדרה \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}

\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}

לכן לפי משפט אם \frac{a_{n+1}}{a_n}\to L אזי גם \sqrt[n]{a_n}\to L .

לכן הגבול הנו:

\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n}}{n^n}=e