שינויים

לסדרה <math>a_n=\Bigleft( 1+\frac{1}{n}\Bigright)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.

::<math>e:=\lim\Biglimits_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n}\Bigright)^n</math>

'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\Biglimits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\Bigright)^{a_n}</math>

'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי <math>e^L=\lim\Biglimits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\Bigright)^{a_n\cdot b_n}</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\Bigleft(1-\frac{1}{n}\Bigright)^n</math>

::<math>\Bigleft(1-\frac{1}{n}\Bigright)^n=\Bigleft(\frac{n-1}{n}\Bigright)^n=\Bigleft(\bigleft(\frac{n}{n-1}\bigright)^{-1}\Bigright)^n=</math>

::<math>=\Bigleft(1+\frac{1}{n-1}\Bigright)^{-n}=\Bigleft(1+\frac{1}{n-1}\Bigright)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}</math>

כיוון כיון ש - <math>\frac{-n}{n-1}\rightarrow to(-1)</math> אנו מקבלים כי

<math>\Biglim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\Bigright)^n\rightarrow =e^{-1}=\frac{1}{e}</math> ==תכונות ==

::<math>\Bigleft(1+\frac{1}{n}\Bigright)^{n}<e<\Bigleft(1+\frac{1}{n}\Bigright)^{n+1}</math>

''';הוכחה:'''

אפשר להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.

::<math>\Bigleft(1+\frac{1}{n}\Bigright)^{n}<\Bigleft(1+\frac{1}{n}\Bigright)^{n+1}</math>

::<math>\Bigleft(1+\frac{1}{n}\Bigright)^{n+1}=\Bigleft(1+\frac{1}{n}\Bigright)^{n}\Bigcdot\left(1+\frac{1}{n}\Bigright)\rightarrow to e\cdot 1cdot1</math>

::<math>a_n=\Bigleft(1+\frac{1}{n}\Bigright)^{n+1}</math>

::<math>a_{n+1}<a_n</math>

::<math>\Bigleft(1+\frac{1}{n+1}\Bigright)^{n+2}<\Bigleft(1+\frac{1}{n}\Bigright)^{n+1}</math>

נפתח את אי השיוויון-השוויון:

::<math>\Bigleft(1+\frac{1}{n+1}\Bigright)\Bigleft(1+\frac{1}{n+1}\Bigright)^{n+1}<\Bigleft(1+\frac{1}{n}\Bigright)^{n+1}</math>

 כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים: ::<math>\Bigleft(1+\frac{1}{n(n+2)}\Bigright)^{n+1}=1+\frac{n+1}{n(n+2)}+...\cdots>1+\frac{n+1}{n(n+2)}</math>

::<math>1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{n+1}{n(n+2)}</math>

::<math>1<\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font> מצא את גבול הסדרה <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>

::<math>\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}</math>

לכן לפי משפט אם <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\rightarrow to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\rightarrow to L</math>.

לכן הגבול הינוהנו:

::<math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\frac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\frac{(n+1)^{n}}{n^n}=e</math>