שינויים
==המספר e==
לסדרה <math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.
::<math>e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^n</math>
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}dfrac1{a_n}\right)^{a_n}</math>
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול <math>L</math> . אזי <math>e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}dfrac1{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}</math>
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\left(1-\frac{1}{n}dfrac1n\right)^n</math>
:<math>\begin{align}\left(1-\frac1n\right)^n&=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n\\
&=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}\end{align}</math>
כיון ש- <math>\dfrac{-n}{n-1}\to-1</math> אנו מקבלים כי
==תכונות==
הסדרה <math>\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי: :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>מתקיים כי:
:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<e<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
;הוכחה:
מובן מאליו כי
:<math>\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^{n}<\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^{n+1}</math>
אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
כמו כן:
:<math>\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)\to e\cdot1</math>
וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.
נסמן
:<math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^{n+1}</math>
רוצים להוכיח
:<math>a_{n+1}<a_n</math>
כלומר
:<math>\left(1+\frac{1}dfrac1{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^{n+1}</math>
נפתח את אי-השוויון:
:<math>\left(1+\frac{1}dfrac1{n+1}\right)\left(1+\frac{1}dfrac1{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^{n+1}</math>
:<math>\left(1+\frac{1}dfrac1{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac{1}{n}frac1n}{1+\frac{1}frac1{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\fracdfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}</math>
כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
:<math>\left(1+\frac{1}dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}=1+\fracdfrac{n+1}{n(n+2)}+\cdots>1+\fracdfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
לכן מספיק להוכיח כי
:<math>1+\frac{1}dfrac1{n+1}<1+\fracdfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
:<math>1<\fracdfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\fracdfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>
==דוגמאות==
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>
:<math>\fracdfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\fracdfrac{n^n}{n!}}</math>
לכן לפי משפט אם <math>\fracdfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> .
לכן הגבול הנו:
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=e</math>
