שינויים

הוכחנו בהרצאה כי לסדרה ::<math>a_ne:=\Big( 1+lim\frac{1}limits_{n\to\infty}\Bigleft(1+\dfrac1n\right)^n</math> יש גבול ממשי. '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.

::'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e:=\lim\Biglimits_{n\to\infty}\left( 1+\fracdfrac1{1}{na_n}\Bigright)^n{a_n}</math>

'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול <math>L</math> . אזי <math>e^L=\lim\Biglimits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}dfrac1{a_n}\Bigright)^{a_n\cdot b_n}</math>

חשב את גבול הסדרה <font sizemath>a_n=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' \left(1-\dfrac1n\right)^n</fontmath>

::כיון ש- <math>\Big(1-\fracdfrac{1}{n}\Big)^n=\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n=\Big(\big(\frac{n}{n-1}\big)^{to-1}\Big)^n=</math>אנו מקבלים כי

::==תכונות==הסדרה <math>=\Bigleft(1+\frac{1}{n-1}dfrac1n\Bigright)^{-n}=\Big(1+\frac{1}{</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי <math>n-1}\Big)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}</math>מתקיים כי:

נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת. מובן מאליו כי:<math>\Bigleft(1+\dfrac1n\right)^n<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כמו כן::<math>\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\to e\cdot1</math> וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.  ===נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת=== נסמן:<math>a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>רוצים להוכיח:<math>a_{n+1}<a_n</math>כלומר:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>נפתח את אי-השוויון: :<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math> :<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n+1}}\Bigright)^{n+1}=\rightarrow eleft(\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}</math>  נזכר באי שיוויון ברנולי- לכל <math>\epsilon>-1</math> מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>. לכן:<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}\geq 1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>   לכן מספיק להוכיח כי:<math>1+\dfrac1{n+1}<1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד::<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math> ===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===נסמן:<math>a_n=\left(1+\frac{1}{en}\right)^n</math>רוצים להוכיח:<math>a_{n+1}>a_n</math>כלומר רוצים להוכיח כי:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}>1</math> צריך להוכיח:<math>\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1</math> כעת:<math>\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=</math>:<math>=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=</math>:<math>=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n\geq\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)</math>  שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל <math>\epsilon>-1</math> ולכל n מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>  ולבסוף :<math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)=</math>:<math>=\left(\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\right)>1</math> ==דוגמאות==<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math> :<math>\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n!}}</math> לכן לפי משפט אם <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> . לכן הגבול הנו::<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e</math>