הבדלים בין גרסאות בדף "המספר e"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(תכונות)
(נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת)
 
(14 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 2: שורה 2:
  
 
==המספר e==
 
==המספר e==
 +
לסדרה <math>a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.
  
הוכחנו בהרצאה כי לסדרה <math>a_n=\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n</math> יש גבול ממשי. '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.
+
::<math>e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n</math>
  
::<math>e:=\lim\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n</math>
+
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n}</math>
  
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n}</math>
+
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול <math>L</math> . אזי <math>e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}</math>
  
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי <math>e^L=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n\cdot b_n}</math>
 
  
 +
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
  
<font size=4 color=#a7adcd>
+
חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n</math>
'''תרגיל.'''
+
</font>
+
  
חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n</math>
 
  
 +
;פתרון
 +
נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
  
'''פתרון.''' נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
+
:<math>\begin{align}\left(1-\frac1n\right)^n&=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n\\
 +
&=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}\end{align}</math>
  
  
::<math>\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n=\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n=\Big(\big(\frac{n}{n-1}\big)^{-1}\Big)^n=</math>
+
כיון ש- <math>\dfrac{-n}{n-1}\to-1</math> אנו מקבלים כי
  
 +
<math>\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e</math>
  
::<math>=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{-n}=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}</math>
+
==תכונות==
 +
הסדרה <math>\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי <math>n</math> מתקיים כי:
  
 +
:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<e<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
  
כיוון ש <math>\frac{-n}{n-1}\rightarrow (-1)</math> אנו מקבלים כי
+
;הוכחה:
  
<math>\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\rightarrow e^{-1}=\frac{1}{e}</math>
+
נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.
  
==תכונות ==
+
מובן מאליו כי
 
+
:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
לכל מספר טבעי n מתקיים כי:
+
אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
 
+
::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}<e<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
+
 
+
'''הוכחה:'''
+
 
+
e מוגדר כגבול הסדרה השמאלית, לכן מספיק להוכיח כי היא מונוטונית עולה שכן גבול סדרה מונוטונית עולה תמיד גדול מאבריה.
+
  
 
כמו כן:
 
כמו כן:
 +
:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\to e\cdot1</math>
  
::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\rightarrow e\cdot 1</math>
+
וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.
  
  
לכן מספיק להוכיח כי סדרה זו מונוטונית יורדת, וכך נעשה.
+
===נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת===
  
 
נסמן
 
נסמן
 +
:<math>a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
 +
רוצים להוכיח
 +
:<math>a_{n+1}<a_n</math>
 +
כלומר
 +
:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
 +
נפתח את אי-השוויון:
  
::<math>a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
+
:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
  
רוצים להוכיח
+
:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}</math>
  
::<math>a_{n+1}<a_n</math>
 
  
כלומר
+
נזכר באי שיוויון ברנולי- לכל <math>\epsilon>-1</math> מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>.
  
::<math>\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)^{n+2}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
+
לכן
 +
:<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}\geq 1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
  
נפתח את אי השיוויון:
 
  
::<math>\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)^{n+1}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
 
  
 +
לכן מספיק להוכיח כי
 +
:<math>1+\dfrac1{n+1}<1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
 +
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
 +
:<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>
  
::<math>\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)<\Big(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}}\Big)^{n+1}=\Big(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\Big)^{n+1}
+
===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===
=\Big(1+\frac{1}{n(n+2)}\Big)^{n+1}
+
נסמן
 +
:<math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
 +
רוצים להוכיח
 +
:<math>a_{n+1}>a_n</math>
 +
כלומר רוצים להוכיח כי
 +
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}>1</math>
 +
 
 +
צריך להוכיח
 +
:<math>\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1</math>
 +
 
 +
כעת
 +
:<math>
 +
\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=
 +
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=
 +
</math>
 +
:<math>
 +
=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=
 +
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=
 +
</math>
 +
:<math>
 +
=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n\geq
 +
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)
 
</math>
 
</math>
  
  
 כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
+
שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל <math>\epsilon>-1</math> ולכל n מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>
  
::<math>\Big(1+\frac{1}{n(n+2)}\Big)^{n+1}=1+\frac{n+1}{n(n+2)}+...>1+\frac{n+1}{n(n+2)}</math>
 
  
לכן מספיק להוכיח כי
+
ולבסוף
 +
:<math>
 +
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)=
 +
\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)=
 +
</math>
 +
:<math>
 +
=\left(\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\right)>1
 +
</math>
 +
 
 +
==דוגמאות==
 +
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
  
::<math>1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{n+1}{n(n+2)}</math>
+
מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>
  
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
+
:<math>\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n!}}</math>
  
::<math>1<\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>
+
לכן לפי משפט אם <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> .
  
::
+
לכן הגבול הנו:
 +
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e</math>

גרסה אחרונה מ־08:14, 5 בנובמבר 2018

חזרה לסדרות

המספר e

לסדרה a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.

e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n

משפט. תהי a_n סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n}

משפט. תהי a_n סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי b_n סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L . אזי e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}


תרגיל.

חשב את גבול הסדרה a_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n


פתרון

נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.

\begin{align}\left(1-\frac1n\right)^n&=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n\\
&=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}\end{align}


כיון ש- \dfrac{-n}{n-1}\to-1 אנו מקבלים כי

\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e

תכונות

הסדרה \left(1+\dfrac1n\right)^n מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי:

\left(1+\dfrac1n\right)^n<e<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}
הוכחה

נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.

מובן מאליו כי

\left(1+\dfrac1n\right)^n<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}

אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

כמו כן:

\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\to e\cdot1

וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.


נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת

נסמן

a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}

רוצים להוכיח

a_{n+1}<a_n

כלומר

\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}

נפתח את אי-השוויון:

\left(1+\dfrac1{n+1}\right)\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}
\left(1+\dfrac1{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}


נזכר באי שיוויון ברנולי- לכל \epsilon>-1 מתקיים \left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon.

לכן

\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}\geq 1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}


לכן מספיק להוכיח כי

1+\dfrac1{n+1}<1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}

אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:

1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}

נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה

נסמן

a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

רוצים להוכיח

a_{n+1}>a_n

כלומר רוצים להוכיח כי

\frac{a_{n+1}}{a_n}>1

צריך להוכיח

\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1

כעת


\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=

=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=

=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n\geq
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)


שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל \epsilon>-1 ולכל n מתקיים \left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon


ולבסוף


\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)=
\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)=

=\left(\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\right)>1

דוגמאות

תרגיל.

מצא את גבול הסדרה \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}

\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n!}}

לכן לפי משפט אם \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L אזי גם \sqrt[n]{a_n}\to L .

לכן הגבול הנו:

\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e