==המספר e==
לסדרה <math>a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.
הוכחנו בהרצאה כי לסדרה ::<math>a_ne:=\Big( 1+lim\frac{1}limits_{n\to\infty}\Bigleft(1+\dfrac1n\right)^n</math> יש גבול ממשי. '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.
::'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e:=\lim\Biglimits_{n\to\infty}\left( 1+\fracdfrac1{1}{na_n}\Bigright)^n{a_n}</math>
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול <math>L</math> . אזי <math>e^L=\lim\Biglimits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}dfrac1{a_n}\Bigright)^{a_n\cdot b_n}</math>
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי <math>e^L=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n\cdot b_n}</math>
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
חשב את גבול הסדרה <font sizemath>a_n=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' \left(1-\dfrac1n\right)^n</fontmath>
חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n</math>
;פתרון
נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
'''פתרון.''' נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.:<math>\begin{align}\left(1-\frac1n\right)^n&=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n\\&=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}\end{align}</math>
::כיון ש- <math>\Big(1-\fracdfrac{1}{n}\Big)^n=\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n=\Big(\big(\frac{n}{n-1}\big)^{to-1}\Big)^n=</math>אנו מקבלים כי
<math>\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e</math>
::==תכונות==הסדרה <math>=\Bigleft(1+\frac{1}{n-1}dfrac1n\Bigright)^{-n}=\Big(1+\frac{1}{</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי <math>n-1}\Big)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}</math>מתקיים כי:
:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<e<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
כיוון ש <math>\frac{-n}{n-1}\rightarrow (-1)</math> אנו מקבלים כי;הוכחה:
<math>\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\rightarrow e^{-1}=\frac{1}{e}</math>נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.
==תכונות == לכל מספר טבעי n מתקיים מובן מאליו כי: ::<math>\Bigleft(1+\frac{1}{n}dfrac1n\Bigright)^{n}<e<\Bigleft(1+\frac{1}{n}dfrac1n\Bigright)^{n+1}</math> '''הוכחה:''' e מוגדר כגבול הסדרה השמאליתאם כך, לכן מספיק להוכיח כי היא מונוטונית עולה שכן גבול סדרה מונוטונית עולה תמיד גדול מאבריהשתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
כמו כן:
:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\to e\cdot1</math>
::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\rightarrow e\cdot 1</math>וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.
לכן מספיק להוכיח ===נוכיח כי סדרה זו הסדרה הימנית מונוטונית יורדת, וכך נעשה.===
נסמן
:<math>a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
רוצים להוכיח
:<math>a_{n+1}<a_n</math>
כלומר
:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
נפתח את אי-השוויון:
::<math>a_n=\Bigleft(1+\fracdfrac1{n+1}\right)\left(1+\dfrac1{n+1}\Bigright)^{n+1}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
רוצים להוכיח:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}</math>
::<math>a_{n+1}<a_n</math>
כלומרנזכר באי שיוויון ברנולי- לכל <math>\epsilon>-1</math> מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>.
:לכן:<math>\Bigleft(1+\frac{1}dfrac1{n(n+12)}\Bigright)^{n+21}<\Big(geq 1+\fracdfrac{n+1}{n}\Big)^{(n+12)}</math>
נפתח את אי השיוויון:
::<math>\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)^{n+1}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>
לכן מספיק להוכיח כי
:<math>1+\dfrac1{n+1}<1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
:<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>
:===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===נסמן:<math>a_n=\Bigleft(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>רוצים להוכיח:<math>a_{n+1}>a_n</math>כלומר רוצים להוכיח כי:<math>\Big)frac{a_{n+1}}{a_n}>1</math> צריך להוכיח:<math>\Bigfrac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1</math> כעת:<math>\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}}\Bigright)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\Bigleft(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^2n=</math>:<math>=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2)}{n+1}}{\Bigfrac{n+1}{n}}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=</math>:<math>=\Bigleft(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+21)^2}\Bigright)^n\geq\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)
</math>
כעת נשים שימו לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון , שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל <math>\epsilon>-1</math> ולכל n מתקיים:<math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>
::<math>\Big(1+\frac{1}{n(n+2)}\Big)^{n+1}=1+\frac{n+1}{n(n+2)}+...>1+\frac{n+1}{n(n+2)}</math>
לכן מספיק להוכיח כיולבסוף :<math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)=</math>:<math>=\left(\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\right)>1</math> ==דוגמאות==<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
::מצא את גבול הסדרה <math>1+\frac{1}lim\limits_{n+1\to\infty}<1+\fracdfrac{n+1}{\sqrt[n(]{n+2)!}}</math>
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:<math>\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n!}}</math>
::לכן לפי משפט אם <math>1<\fracdfrac{a_{(n+1)^2}}{n(n+2)a_n}=\frac{to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n^2+2n+1}]{n^2+2na_n}\to L</math>.
לכן הגבול הנו::<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e</math>
