שינויים

לסדרה <math>a_n=\Bigleft( 1+\frac{1}{n}dfrac1n\Bigright)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.

::<math>e:=\lim\Biglimits_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n}dfrac1n\Bigright)^n</math>

'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\Biglimits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}dfrac1{a_n}\Bigright)^{a_n}</math>

'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול <math>L</math> . אזי <math>e^L=\lim\Biglimits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}dfrac1{a_n}\Bigright)^{a_n\cdot b_n}</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\Bigleft(1-\frac{1}{n}dfrac1n\Bigright)^n</math>

''';פתרון.''' נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.

::<math>=\Big(1+lim\frac{1}limits_{n-1}\Big)^{-nto\infty}=\Bigleft(1+\frac{1}{n-1}\Bigdfrac1n\right)^{(n-1)\frac=e^{-n}{n-1}}=\frac1e</math>

כיוון ש :<math>\frac{-n}{n-left(1}+\rightarrow dfrac1n\right)^n<e<\left(-1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math> אנו מקבלים כי

==תכונות == הסדרה <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי:  ::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}<e<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math>  '''הוכחה:''' אפשר להוכיח נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.

 ::<math>\Bigleft(1+\frac{1}{n}dfrac1n\Bigright)^{n}<\Bigleft(1+\frac{1}{n}dfrac1n\Bigright)^{n+1}</math> 

 ::<math>\Bigleft(1+\frac{1}{n}dfrac1n\Bigright)^{n+1}=\Bigleft(1+\frac{1}{n}dfrac1n\Bigright)^{n}\Bigcdot\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\Bigright)\rightarrow to e\cdot 1cdot1</math>

===נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת:===

::<math>a_n=\Bigleft(1+\fracdfrac1{n+1}\right)\left(1+\dfrac1{n+1}\Bigright)^{n+1}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>

:לכן:<math>\Bigleft(1+\frac{1}dfrac1{n(n+12)}\Bigright)^{n+21}<\Big(geq 1+\fracdfrac{n+1}{n}\Big)^{(n+12)}</math>

:===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===נסמן:<math>a_n=\Bigleft(1+\frac{1}{n+1}\Bigright)^n<\Big(\frac{1+\frac{1}/math>רוצים להוכיח:<math>a_{n}}{1+\frac{1}{n+1}}\Big)^{n+1}=\Big(>a_n</math>כלומר רוצים להוכיח כי:<math>\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\Big)^a_{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n(n+2)a_n}\Big)^{n+>1}</math>

 כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקייםכעת:<math>\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=</math>:<math>=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=</math>:<math>=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n\geq\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)</math>

אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:ולבסוף  ::<math>\left(1<+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)=</math>:<math>=\left(\frac{n^3+3n^2+2n3n+12}{n^3+3n^2+2n3n+1}\right)>1</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font> מצא את גבול הסדרה <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\fracdfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math> ::<math>\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}</math>

לכן לפי משפט אם :<math>\frac{a_dfrac{n+1}}{a_n}\rightarrow L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_nn!}}=\rightarrow Lsqrt[n]{\dfrac{n^n}{n!}}</math>.

לכן הגבול הינו:לפי משפט אם <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> .

לכן הגבול הנו::<math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\fracdfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}\fracdfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e</math>