הבדלים בין גרסאות בדף "המספר e"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת)
 
(7 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 2: שורה 2:
  
 
==המספר e==
 
==המספר e==
−
לסדרה <math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.
+
לסדרה <math>a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.
  
−
::<math>e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
+
::<math>e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n</math>
  
−
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}</math>
+
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n}</math>
  
−
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי <math>e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}</math>
+
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול <math>L</math> . אזי <math>e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}</math>
  
  
 
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
 
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
  
−
חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n</math>
+
חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n</math>
  
  
−
'''פתרון.''' נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
+
;פתרון
 +
נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
  
 +
:<math>\begin{align}\left(1-\frac1n\right)^n&=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n\\
 +
&=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}\end{align}</math>
  
−
:<math>\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n=</math>
 
  
 +
כיון ש- <math>\dfrac{-n}{n-1}\to-1</math> אנו מקבלים כי
  
−
:<math>=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}</math>
+
<math>\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e</math>
−
 
+
−
 
+
−
כיון ש- <math>\frac{-n}{n-1}\to(-1)</math> אנו מקבלים כי
+
−
 
+
−
<math>\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=e^{-1}=\frac{1}{e}</math>
+
  
 
==תכונות==
 
==תכונות==
−
הסדרה <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי:
+
הסדרה <math>\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי <math>n</math> מתקיים כי:
−
 
+
−
 
+
−
:<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>
+
  
 +
:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<e<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
  
 
;הוכחה:
 
;הוכחה:
  
−
אפשר להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.
+
נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.
  
 
מובן מאליו כי
 
מובן מאליו כי
−
 
+
:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
−
:<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>
+
−
 
+
 
אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
 
אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
  
 
כמו כן:
 
כמו כן:
−
 
+
:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\to e\cdot1</math>
−
:<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\to e\cdot1</math>
+
  
 
וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.
 
וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.
  
  
−
נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת:
+
===נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת===
  
 
נסמן
 
נסמן
−
 
+
:<math>a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
−
:<math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>
+
−
 
+
 
רוצים להוכיח
 
רוצים להוכיח
−
 
 
:<math>a_{n+1}<a_n</math>
 
:<math>a_{n+1}<a_n</math>
−
 
 
כלומר
 
כלומר
 +
:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
 +
נפתח את אי-השוויון:
  
−
:<math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>
+
:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math>
  
−
נפתח את אי-השוויון:
+
:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}</math>
  
−
:<math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>
 
  
−
:<math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}</math>
+
נזכר באי שיוויון ברנולי- לכל <math>\epsilon>-1</math> מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>.
  
 +
לכן
 +
:<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}\geq 1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
  
−
כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
 
  
−
:<math>\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}=1+\frac{n+1}{n(n+2)}+\cdots>1+\frac{n+1}{n(n+2)}</math>
 
  
 
לכן מספיק להוכיח כי
 
לכן מספיק להוכיח כי
 +
:<math>1+\dfrac1{n+1}<1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
 +
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
 +
:<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>
  
−
:<math>1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{n+1}{n(n+2)}</math>
+
===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===
 +
נסמן
 +
:<math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
 +
רוצים להוכיח
 +
:<math>a_{n+1}>a_n</math>
 +
כלומר רוצים להוכיח כי
 +
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}>1</math>
  
−
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
+
צריך להוכיח
 +
:<math>\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1</math>
  
−
:<math>1<\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>
+
כעת
 +
:<math>
 +
\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=
 +
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=
 +
</math>
 +
:<math>
 +
=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=
 +
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=
 +
</math>
 +
:<math>
 +
=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n\geq
 +
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל <math>\epsilon>-1</math> ולכל n מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>
 +
 
 +
 
 +
ולבסוף
 +
:<math>
 +
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)=
 +
\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)=
 +
</math>
 +
:<math>
 +
=\left(\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\right)>1
 +
</math>
  
 
==דוגמאות==
 
==דוגמאות==
 
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
 
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
  
−
מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>
+
מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>
  
−
:<math>\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}</math>
+
:<math>\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n!}}</math>
  
−
לכן לפי משפט אם <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> .
+
לכן לפי משפט אם <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> .
  
 
לכן הגבול הנו:
 
לכן הגבול הנו:
−
 
+
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e</math>
−
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n}}{n^n}=e</math>
+

גרסה אחרונה מ־08:14, 5 בנובמבר 2018

חזרה לסדרות

המספר e

לסדרה a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.

e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n

משפט. תהי a_n סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n}

משפט. תהי a_n סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי b_n סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L . אזי e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}


תרגיל.

חשב את גבול הסדרה a_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n


פתרון

נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.

\begin{align}\left(1-\frac1n\right)^n&=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n\\ &=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}\end{align}


כיון ש- \dfrac{-n}{n-1}\to-1 אנו מקבלים כי

\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e

תכונות

הסדרה \left(1+\dfrac1n\right)^n מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי:

\left(1+\dfrac1n\right)^n<e<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}
הוכחה

נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.

מובן מאליו כי

\left(1+\dfrac1n\right)^n<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}

אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

כמו כן:

\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\to e\cdot1

וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.


נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת

נסמן

a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}

רוצים להוכיח

a_{n+1}<a_n

כלומר

\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}

נפתח את אי-השוויון:

\left(1+\dfrac1{n+1}\right)\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}
\left(1+\dfrac1{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}


נזכר באי שיוויון ברנולי- לכל \epsilon>-1 מתקיים \left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon.

לכן

\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}\geq 1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}


לכן מספיק להוכיח כי

1+\dfrac1{n+1}<1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}

אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:

1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}

נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה

נסמן

a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

רוצים להוכיח

a_{n+1}>a_n

כלומר רוצים להוכיח כי

\frac{a_{n+1}}{a_n}>1

צריך להוכיח

\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1

כעת

\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}= \left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=
=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n= \left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=
=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n\geq \left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)


שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל \epsilon>-1 ולכל n מתקיים \left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon


ולבסוף

\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)= \left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)=
=\left(\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\right)>1

דוגמאות

תרגיל.

מצא את גבול הסדרה \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}

\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n!}}

לכן לפי משפט אם \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L אזי גם \sqrt[n]{a_n}\to L .

לכן הגבול הנו:

\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=המספר_e&oldid=78192