שינויים

לסדרה <math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.

::<math>e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^n</math>

'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}dfrac1{a_n}\right)^{a_n}</math>

'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול <math>L</math> . אזי <math>e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}dfrac1{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}</math>

חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\left(1-\frac{1}{n}dfrac1n\right)^n</math>

''';פתרון.''' נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.

:<math>=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}</math>  כיון ש- <math>\frac{-n}{n-1}\to(-1)</math> אנו מקבלים כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}dfrac1n\right)^n=e^{-1}=\frac{1}{e}frac1e</math>

הסדרה <math>\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי:  :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>מתקיים כי:

אפשר להוכיח נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.

 :<math>\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^{n}<\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^{n+1}</math> 

 :<math>\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)\to e\cdot1</math>

===נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת:===

 :<math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^{n+1}</math> 

:<math>\left(1+\fracdfrac1{n+1}\right)\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+21}<\left(1+\frac{1}{n}dfrac1n\right)^{n+1}</math>

נפתח את אי-השוויון:<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}</math>

:נזכר באי שיוויון ברנולי- לכל <math>\left(epsilon>-1+\frac{1}{n+1}\right)</math> מתקיים <math>\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}}epsilon\right)^{n+1}=\left(\frac{(n+geq 1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}epsilon</math>.

===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===נסמן:<math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>רוצים להוכיח:<math>a_{n+1}>a_n<1+/math>כלומר רוצים להוכיח כי:<math>\frac{a_{n+1}}{n(n+2)a_n}>1</math>

אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמידצריך להוכיח:<math>\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1</math>

כעת:<math>\frac{\left(1<+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=</math>:<math>=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=</math>:<math>=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n\geq\left(1+2n\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)</math>  שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל <math>\epsilon>-1</math> ולכל n מתקיים <math>\left(1+2n\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>  ולבסוף :<math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)=</math>:<math>=\left(\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\right)>1</math>

מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>

:<math>\fracdfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\fracdfrac{n^n}{n!}}</math>

לכן לפי משפט אם <math>\fracdfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> .

 :<math>\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\fracdfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e</math>