הבדלים בין גרסאות בדף "המספר e"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(תכונות)
(נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת)
 
(5 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 61: שורה 61:
  
  
כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
+
נזכר באי שיוויון ברנולי- לכל <math>\epsilon>-1</math> מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>.
:<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}=1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}+\cdots>1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
+
 
 +
לכן
 +
:<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}\geq 1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math>
 +
 
  
(שימו לב: זה בעצם אי שיוויון ברנולי <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>)
 
  
 
לכן מספיק להוכיח כי
 
לכן מספיק להוכיח כי
שורה 70: שורה 72:
 
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
 
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
 
:<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>
 
:<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>
 
  
 
===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===
 
===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===
 +
נסמן
 +
:<math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
 +
רוצים להוכיח
 +
:<math>a_{n+1}>a_n</math>
 +
כלומר רוצים להוכיח כי
 +
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}>1</math>
 +
 +
צריך להוכיח
 +
:<math>\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1</math>
 +
 +
כעת
 +
:<math>
 +
\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=
 +
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=
 +
</math>
 +
:<math>
 +
=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=
 +
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=
 +
</math>
 +
:<math>
 +
=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n\geq
 +
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)
 +
</math>
 +
 +
 +
שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל <math>\epsilon>-1</math> ולכל n מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>
 +
 +
 +
ולבסוף
 +
:<math>
 +
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)=
 +
\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)=
 +
</math>
 +
:<math>
 +
=\left(\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\right)>1
 +
</math>
  
 
==דוגמאות==
 
==דוגמאות==
שורה 84: שורה 121:
  
 
לכן הגבול הנו:
 
לכן הגבול הנו:
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=e</math>
+
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e</math>

גרסה אחרונה מ־08:14, 5 בנובמבר 2018

חזרה לסדרות

המספר e

לסדרה a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.

e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n

משפט. תהי a_n סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n}

משפט. תהי a_n סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי b_n סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L . אזי e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}


תרגיל.

חשב את גבול הסדרה a_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n


פתרון

נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.

\begin{align}\left(1-\frac1n\right)^n&=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n\\
&=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}\end{align}


כיון ש- \dfrac{-n}{n-1}\to-1 אנו מקבלים כי

\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e

תכונות

הסדרה \left(1+\dfrac1n\right)^n מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי:

\left(1+\dfrac1n\right)^n<e<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}
הוכחה

נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.

מובן מאליו כי

\left(1+\dfrac1n\right)^n<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}

אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

כמו כן:

\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\to e\cdot1

וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.


נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת

נסמן

a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}

רוצים להוכיח

a_{n+1}<a_n

כלומר

\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}

נפתח את אי-השוויון:

\left(1+\dfrac1{n+1}\right)\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}
\left(1+\dfrac1{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}


נזכר באי שיוויון ברנולי- לכל \epsilon>-1 מתקיים \left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon.

לכן

\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}\geq 1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}


לכן מספיק להוכיח כי

1+\dfrac1{n+1}<1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}

אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:

1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}

נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה

נסמן

a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

רוצים להוכיח

a_{n+1}>a_n

כלומר רוצים להוכיח כי

\frac{a_{n+1}}{a_n}>1

צריך להוכיח

\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1

כעת


\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=

=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=

=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n\geq
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)


שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל \epsilon>-1 ולכל n מתקיים \left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon


ולבסוף


\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)=
\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)=

=\left(\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\right)>1

דוגמאות

תרגיל.

מצא את גבול הסדרה \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}

\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n!}}

לכן לפי משפט אם \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L אזי גם \sqrt[n]{a_n}\to L .

לכן הגבול הנו:

\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e