שינויים
/* נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת */
לכן מספיק להוכיח כי
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
:<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math>
===נוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה===
נסמן
:<math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
רוצים להוכיח
:<math>a_{n+1}>a_n</math>
כלומר רוצים להוכיח כי
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}>1</math>
צריך להוכיח
:<math>\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1</math>
כעת
:<math>
\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=
</math>
:<math>
=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}\right)^n=
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=
</math>
:<math>
=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n\geq
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)
</math>
שימו לב, שוב השתמשנו באי שיוויון ברנולי, לכל <math>\epsilon>-1</math> ולכל n מתקיים <math>\left(1+\epsilon\right)^n\geq 1+n\epsilon</math>
ולבסוף
:<math>
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)=
\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\left(\frac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}\right)=
</math>
:<math>
=\left(\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\right)>1
</math>
==דוגמאות==
לכן הגבול הנו:
:<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e</math>
