המספר e

חזרה לסדרות

המספר e

הוכחנו בהרצאה כי לסדרה $a_n=\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n$ יש גבול ממשי. אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.

$e:=\lim\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n$

משפט. תהי $a_n$ סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי $e=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n}$

משפט. תהי $a_n$ סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי $b_n$ סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי $e^L=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n\cdot b_n}$

תרגיל.

חשב את גבול הסדרה $a_n=\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n$

פתרון. נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.

$\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n=\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n=\Big(\big(\frac{n}{n-1}\big)^{-1}\Big)^n=$

$=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{-n}=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}$

כיוון ש $\frac{-n}{n-1}\rightarrow (-1)$ אנו מקבלים כי

$\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\rightarrow e^{-1}=\frac{1}{e}$

תכונות

לכל מספר טבעי n מתקיים כי:

$\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}<e<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}$

הוכחה:

e מוגדר כגבול הסדרה השמאלית, לכן מספיק להוכיח כי היא מונוטונית עולה שכן גבול סדרה מונוטונית עולה תמיד גדול מאבריה.

כמו כן:

$\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\rightarrow e\cdot 1$

לכן מספיק להוכיח כי סדרה זו מונוטונית יורדת, וכך נעשה.