המספר e

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה לסדרות

המספר e

הוכחנו בהרצאה כי לסדרה a_n=\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n יש גבול ממשי. אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.

e:=\lim\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n

משפט. תהי a_n סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי e=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n}

משפט. תהי a_n סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי b_n סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי e^L=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n\cdot b_n}


תרגיל.

חשב את גבול הסדרה a_n=\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n


פתרון. נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.


\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n=\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n=\Big(\big(\frac{n}{n-1}\big)^{-1}\Big)^n=


=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{-n}=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}


כיוון ש \frac{-n}{n-1}\rightarrow (-1) אנו מקבלים כי

\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\rightarrow e^{-1}=\frac{1}{e}

תכונות

לכל מספר טבעי n מתקיים כי:

\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}<e<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}

הוכחה:

e מוגדר כגבול הסדרה השמאלית, לכן מספיק להוכיח כי היא מונוטונית עולה שכן גבול סדרה מונוטונית עולה תמיד גדול מאבריה.

כמו כן:

\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\rightarrow e\cdot 1


לכן מספיק להוכיח כי סדרה זו מונוטונית יורדת, וכך נעשה.

נסמן

a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}

רוצים להוכיח

a_{n+1}<a_n

כלומר

\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)^{n+2}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}

נפתח את אי השיוויון:

\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)^{n+1}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}


\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)<\Big(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}}\Big)^{n+1}=\Big(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\Big)^{n+1}
=\Big(1+\frac{1}{n(n+2)}\Big)^{n+1}


 כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:

\Big(1+\frac{1}{n(n+2)}\Big)^{n+1}=1+\frac{n+1}{n(n+2)}+...>1+\frac{n+1}{n(n+2)}

לכן מספיק להוכיח כי

1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{n+1}{n(n+2)}

אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:

1<\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}


דוגמאות

תרגיל.

מצא את גבול הסדרה \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}

\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}

לכן לפי משפט אם \frac{a_{n+1}}{a_n}\rightarrow L אזי גם \sqrt[n]{a_n}\rightarrow L.

לכן הגבול הינו:

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^{n}}{n^n}=e