הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"

גרסה מ־18:13, 26 בינואר 2016

תוכן עניינים

1 המשפט
2 הוכחה

המשפט

תהי $f(x)$ מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב- $[a,b]$ . נגדיר גם: $\forall x\in [a,b]: A(x):= \displaystyle\int\limits_a^x f(t)dt$ . אזי מתקיים:

א) $A(x)$ רציפה.

ב) לכל $x_0\in [a,b]$ שבו $f(x_0)$ רציפה, $A(x)$ גזירה ו- $A'(x_0)=f(x_0)$ .

ג) אם $f(x)$ רציפה בכל $[a,b]$ , ו- $F$ פונקציה קדומה של $f$ , מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: $\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$ .

הוכחה

סעיף א'

נקח $x\in [a,b]$ כלשהו ו- $\Delta x$ "קטן" כך ש- $x+\Delta x\in [a,b]$ . לפי הגדרה: $A(x+\Delta x)=\displaystyle\int\limits_a^{x+\Delta x}f(t)dt$ ולכן

$A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x} f(t)dt$ . נתון ש- $f$ חסומה, נגיד $f(x)\le M$ .

לכן מתקיים $\bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=\Bigg|\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt\Bigg|\le M|\Delta x|$ .

כעת נשאיף את $\Delta x \to 0$ , אגף ימין שואף ל-0 . לכן:

$\lim_{\Delta x\to 0}\bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=0$ ומכך נובע ש:

$\lim_{\Delta x\to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0$ ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

$\lim_{\Delta x\to 0}A(x+\Delta x)=A(x)$ .

$\blacksquare$

סעיף ב'

כאן מניחים ש- $f(t)$ רציפה בנקודה $x_0\in [a,b]$ כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי $A'(x_0)$ קיימת ושווה ל- $f(x_0)$ . נחזור לפונקציה $A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt$ . בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר $\Delta x\to 0$ , מתקיים בהכרח:

$\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt \to f(x_0)$

טענה: נוכיח כי $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\Bigg]=f(x_0)$ .

נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: $\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)dt=f(x_0) \Delta x$ ולכן $\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)$ .

כעת נראה כי הביטוי מתאפס: $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg]=0$

מכאן ש- $\Bigg|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg|\le \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big|f(t)-f(x_0)\Big|dt< \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt$

אבל $\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt=|\Delta x| \epsilon$ ולכן

$\Bigg|\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg| < \frac1{|\Delta x|}\cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon$ .

ולכן הגבול אכן שואף ל- $0$ , מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל- $f(x_0)$ , ולכן, אגף שמאל גם שואף ל- $f(x_0)$ , מכאן נובע $A'(x_0)=f(x_0)$ .

$\blacksquare$

סעיף ג'

ידוע כי $f$ רציפה על כל $[a,b]$ , ולכן ע"פ סעיף ב', $A(x)$ פונקציה קדומה של $f$ . נתון גם כי $F$ פונקציה קדומה של $f$ , ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים $F(x)=A(x)+C$ עבור $C$ כלשהו.

לכן: $F(b)-F(a)=[A(b)+C]-[A(a)+C]=A(b)-A(a)=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx - \displaystyle\int\limits_a^a f(x)dx=$

$=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx-0 = \displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx$

ולכן בסך הכל : $\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$ .

$\blacksquare$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קטגוריה:אינפי]]
-== המשפט ==
+==המשפט==
-תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:
+תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם:
+<math>\forall x\in [a,b]: A(x):= \displaystyle\int\limits_a^x f(t)dt</math> . אזי מתקיים:
 א) <math>A(x)</math> רציפה.
-ב)לכל <math>x_{0} \in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0})</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.
+ב) לכל <math>x_0\in [a,b]</math> שבו <math>f(x_0)</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_0)=f(x_0)</math>.
-ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.
+ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו- <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.
-== הוכחה ==
+==הוכחה==
 === סעיף א'===
-נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן
+נקח <math>x\in [a,b]</math> כלשהו ו- <math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x\in [a,b]</math>. לפי הגדרה: <math>A(x+\Delta x)=\displaystyle\int\limits_a^{x+\Delta x}f(t)dt</math> ולכן
-<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.
+<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x} f(t)dt</math>. נתון ש- <math>f</math> חסומה, נגיד <math>f(x)\le M </math>.
-נתון ש-f חסומה, נגיד <math>f(x) \leq M </math>.
-לכן מתקיים   <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>.
+לכן מתקיים <math>\bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=\Bigg|\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt\Bigg|\le M|\Delta x|</math>.
 כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
 לכן:
-<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math>  ומכך נובע ש:
+<math>\lim_{\Delta x\to 0}\bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=0</math> ומכך נובע ש:
-<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
+<math>\lim_{\Delta x\to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
-<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.
+<math>\lim_{\Delta x\to 0}A(x+\Delta x)=A(x)</math>.
-<math>\blacksquare </math>
+<math>\blacksquare</math>
 === סעיף ב'===
-כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>.
+כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_0\in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_0)</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_0)</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt</math>. בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x\to 0</math> , מתקיים בהכרח:
-בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> ,  מתקיים בהכרח:
-<math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math>
+<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt \to f(x_0)</math>
-'''טענה''' נוכיח כי
+'''טענה:''' נוכיח כי <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\Bigg]=f(x_0)</math> .
-<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> .
-נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math>
+נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)dt=f(x_0) \Delta x</math> ולכן
-ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>.
+<math>\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)</math>.
-כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
+כעת נראה כי הביטוי מתאפס: <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg]=0</math>
-<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math>
-יהי <math>\epsilon >0</math>. כיוון ש-f רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|t-x_{0}|< \delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_{0})|< \epsilon</math>.כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>|t-x_{0}| \leq |\Delta x|< \delta </math> כך ש-<math>|f(t)-f(x_{0})|< \epsilon</math>.
+יהי <math>\epsilon >0</math>. כיון ש- <math>f</math> רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|t-x_0|< \delta</math> אז <math>\Big|f(t)-f(x_0)\Big|< \epsilon</math>. כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>|t-x_0|\le |\Delta x|< \delta </math> כך ש-<math>\Big|f(t)-f(x_0)\Big|< \epsilon</math>.
-מכאן ש-
+מכאן ש- <math>\Bigg|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg|\le \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big|f(t)-f(x_0)\Big|dt< \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt</math>
-<math>|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt| \leq \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} |f(t)-f(x_{0})|dt<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt</math>
-אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=|\Delta x| \epsilon</math> ולכן
+אבל <math>\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt=|\Delta x| \epsilon</math> ולכן
-<math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt| < \frac{1}{|\Delta x|} \cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon </math>.
+<math>\Bigg|\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg| < \frac1{|\Delta x|}\cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon </math>.
-ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>.
+ולכן הגבול אכן שואף ל- <math>0</math>, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל- <math>f(x_0)</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל- <math>f(x_0)</math>, מכאן נובע <math>A'(x_0)=f(x_0)</math>.
 <math>\blacksquare</math>
 ===סעיף ג' ===
+ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+C</math> עבור <math>C</math> כלשהו.
-ידוע כי <math>f</math>  רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+c</math> עבור c כלשהו.
+לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+C]-[A(a)+C]=A(b)-A(a)=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx - \displaystyle\int\limits_a^a f(x)dx=</math>
-לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx=</math>
-<math>=\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx</math>
+<math>=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx-0 = \displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx</math>
-ולכן בסך הכל :<math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.
+ולכן בסך הכל :<math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.
 <math>\blacksquare</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"

גרסה מ־18:13, 26 בינואר 2016

תוכן עניינים

המשפט

הוכחה

סעיף א'

סעיף ב'

סעיף ג'

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים