המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

המשפט

תהי f(x) מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-[a,b]. נגדיר גם: \forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt . אזי מתקיים:

א) A(x) רציפה.

ב)לכל x_{0} \in [a,b] שבו f(x_{0}) רציפה, A(x) גזירה ו- A'(x_{0})=f(x_{0}).

ג) אם f(x) רציפה בכל [a,b], ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a).

הוכחה

סעיף א'

נקח x \in [a,b] כלשהו ו-\Delta x "קטן" כך ש-x+\Delta x \in [a,b]. לפי הגדרה:A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt ולכן

A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt. נתון ש-f חסומה, נגיד |f(x)| \leq M .

לכן מתקיים |A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|.

כעת נשאיף את \Delta x \to 0, אגף ימין שואף ל-0 . לכן:

\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0 ומכך נובע ש:

\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0 ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x).

\blacksquare

סעיף ב'

כאן מניחים ש- f(t) רציפה בנקודה x_{0} \in [a,b] כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי A'(x_{0}) קיימת ושווה ל- f(x_{0}). נחזור לפונקציה A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt. בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר \Delta x \to 0 , מתקיים בהכרח:

\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})

טענה נוכיח כי \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0}) .

נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x ולכן \frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0}).

כעת נראה כי הביטוי מתאפס: \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0

יהי \epsilon >0. כיוון ש-f רציפה, קיים \delta >0 כך שאם |t-x_{0}|< \delta אז |f(t)-f(x_{0})|<0.כעת נניח |\Delta x|<\delta, לכן לכל t כזה: |t-x_{0}| \leq |\Delta x|< \delta כך ש-|f(t)-f(x_{0})|< \epsilon.

מכאן ש- |\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt|<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} |f(t)-f(x_{0})|dt<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt

אבל \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=|\Delta x| \epsilon ולכן

|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt|<\frac{1}{|\Delta x|} \cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon .

ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-f(x_{0}), ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-f(x_{0}), מכאן נובע A'(x_{0})=f(x_{0}).

\blacksquare

סעיף ג'

ידוע כי f רציפה על כל [a,b], ולכן ע"פ סעיף ב', A(x) פונקציה קדומה של f. נתון גם כי F פונקציה קדומה של f, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים F(x)=A(x)+c עבור c כלשהו.

לכן: F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx=

=\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx

ולכן בסך הכל :\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a).

\blacksquare