הבדלים בין גרסאות בדף "הפולינום האופייני"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(קשר בין פולינום אופייני לע"ע)
 
שורה 1: שורה 1:
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
 
==הגדרה==
 
==הגדרה==
תהי A מטריצה ריבועית, אזי '''הפולינום האופייני''' שלה מוגדר להיות:
+
תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית, אזי '''הפולינום האופייני''' שלה מוגדר להיות:
 
+
:<math>f_A(x):=|xI-A|</math>
::<math>f_A(x):=\Big|xI-A\Big|</math>
+
קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה <math>x</math> .
 
+
קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה x.
+
  
 
==קשר בין פולינום אופייני לע"ע==
 
==קשר בין פולינום אופייני לע"ע==
 
כל התנאים הבאים שקולים:
 
כל התנאים הבאים שקולים:
 
+
*<math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של המטריצה <math>A</math>
 
+
*x הינו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של המטריצה A
+
 
לפי ההגדרה:
 
לפי ההגדרה:
 
+
*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av=xv</math>  
*קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>Av=xv</math>  
+
 
מעבר אגפים:
 
מעבר אגפים:
 
+
*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av-xv=0</math>  
*קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>Av-xv=0</math>  
+
(דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:)
(דיסטריביוטיביות של כפל מטריצות:)
+
*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>(A-xI)v=0</math>
 
+
*קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>(A-xI)v=0</math>
+
 
לפי ההגדרה:
 
לפי ההגדרה:
 
+
*קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס <math>N(A-xI)</math>
*קיים פתרון לא טריוויאלי במרחב האפס <math>N(A-xI)</math>
+
 
משפט מלינארית 1:
 
משפט מלינארית 1:
 
 
*המטריצה <math>A-xI</math> '''אינה''' הפיכה
 
*המטריצה <math>A-xI</math> '''אינה''' הפיכה
 
משפט מלינארית 1:
 
משפט מלינארית 1:
 
 
*<math>|A-xI|=0</math>
 
*<math>|A-xI|=0</math>
 
לפי הגדרה:
 
לפי הגדרה:
 
 
*<math>f_A(x)=0</math>
 
*<math>f_A(x)=0</math>
  
 
===משפט===  
 
===משפט===  
 
+
<math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של <math>A</math> אם"ם <math>x</math> הנו שורש של הפולינום האופייני של <math>A</math> .
x הינו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של A אם"ם x הינו שורש של הפולינום האופייני של A
+

גרסה אחרונה מ־14:19, 2 בספטמבר 2018

הגדרה

תהי A מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:

f_A(x):=|xI-A|

קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה x .

קשר בין פולינום אופייני לע"ע

כל התנאים הבאים שקולים:

  • x הנו ע"ע של המטריצה A

לפי ההגדרה:

  • קיים v\ne0 וגם Av=xv

מעבר אגפים:

  • קיים v\ne0 וגם Av-xv=0

(דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:)

  • קיים v\ne0 וגם (A-xI)v=0

לפי ההגדרה:

  • קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס N(A-xI)

משפט מלינארית 1:

  • המטריצה A-xI אינה הפיכה

משפט מלינארית 1:

  • |A-xI|=0

לפי הגדרה:

  • f_A(x)=0

משפט

x הנו ע"ע של A אם"ם x הנו שורש של הפולינום האופייני של A .