הפולינום האופייני

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־14:19, 2 בספטמבר 2018 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הגדרה

תהי A מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:

f_A(x):=|xI-A|

קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה x .

קשר בין פולינום אופייני לע"ע

כל התנאים הבאים שקולים:

  • x הנו ע"ע של המטריצה A

לפי ההגדרה:

  • קיים v\ne0 וגם Av=xv

מעבר אגפים:

  • קיים v\ne0 וגם Av-xv=0

(דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:)

  • קיים v\ne0 וגם (A-xI)v=0

לפי ההגדרה:

  • קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס N(A-xI)

משפט מלינארית 1:

  • המטריצה A-xI אינה הפיכה

משפט מלינארית 1:

  • |A-xI|=0

לפי הגדרה:

  • f_A(x)=0

משפט

x הנו ע"ע של A אם"ם x הנו שורש של הפולינום האופייני של A .