== חישוב בידיים של ההתאמה ==
דגכדגנניח ש-<math>E/F</math> הרחבת גלואה ממימד סופי ומצאנו את חבורת גלואה <math>G=Gal(E/F)</math>. בהינתן שדה <math>F\subseteq K\subseteq E</math> קל למצוא את תת החבורה המתאימה לו <math>H=Gal(E/K)</math> ע"י בדיקה אילו מאברי <math>G</math> מייצבים את <math>K</math>. בפרט, אם <math>K=F[a_1,...,a_n]</math> מספיק לבדוק אילו מאברי <math>G</math> מייצבים את <math>a_1,...,a_n</math>. לעומת זאת, בהינתן תת חבורה <math>H\leq G</math> לא תמיד ברור מהו תת השדה המתאים לה <math>K=E^H</math>. ראשית, נשים לב שהתנאי <math>a\in E^H</math> אומר <math>\sigma a=a</math> לכל <math>\sigma\in H</math>. היות וכל <math>\sigma\in H</math> היא העתקה לינארית מעל <math>F</math>, התנאים <math>\{\sigma a=a\}_{\sigma\in H}</math> שקולים למשוואות לינאריות מעל <math>F</math>. בסיס למרחב הפתרונות יהיה בסיס ל-<math>E^H</math> מעל <math>F</math>. שימו לב שכדי לתרגם משוואה מהצורה <math>\sigma a=a</math> למשוואה לינארית מעל <math>F</math> יש לבחור בסיס ל-<math>E</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math>. (הנעלמים יהיו הסקלרים אותם נכפיל באברי הבסיס.) השיטה הנ"ל אמנם תמיד עובד, אך בדרך כלל לוקחת זמן לביצוע. לכן, אם אפשר עדיף לנסות למצוא איברים <math>a_1,...,a_n\in E^H</math> ולקוות שהם יוצרים את <math>E^H</math> מעל <math>F</math>. כעת יש שתי שאלות: איך נמצא את האיברים ואיך נדע שהם יוצרים את <math>E^H</math>. תשובה לשאלה השנייה נובעת מהטענה הבאה: '''טענה:''' <math>E^H=F[a_1,\dots,a_n]</math> אם ורק אם <math>H</math> מייצבת את <math>a_1,...,a_n</math> וגם <math>[F[a_1,\dots,a_n]:F]\geq [G:H]</math>. '''הוכחה:''' תרגיל בעזרת המשפט היסודי של תורת גלואה. לשאלה הראשונה אין תשובה פורמלית (חוץ מלפתור משוואות). לפעמים ברור שאיברים הם ב-<math>E^H</math> והם גם מספיקים כדי ליצור את כולו. להלן שתי דוגמאות::1. אם <math>\sigma</math> הוא צמצום של הצמוד המרוכב, אז כל מספר ממשי ב-<math>E</math> נמצא ב-<math>E^\sigma</math>.:2. נניח ש-<math>E</math> שדה פיצול של <math>f</math> מעל <math>F</math> ויהיו <math>a_1,\dots,a_k\in E</math> השורשים של <math>f</math>. אזי ניתן לחשוב על אברי <math>G</math> כתמורות ב-<math>S_k</math> (המתאימות לתמורות על השורשים <math>a_1,\dots,a_k</math>). נשים לב שאם <math>\sigma\in H</math> היא מכפלה של מחזורים זרים שאחד מהם הוא <math>(n_1,\dots,n_r)</math> אז <math>\sum_{i=1}^ra_{n_i},~\prod_{i=1}^ra_{n_i}\in E^{<\sigma>}</math>.:3. באותן הנחות כמו ב-2, אם האינדקס <math>n</math> לא מופיע בייצוג של <math>\sigma\in H</math> כמכפלת מחזורים זרים, אז <math>\sigma a_n=a_n</math>. '''דוגמא:''' נניח ש-<math>E=\mathbb{Q}[\sqrt[4]{2},i],~F=\mathbb{Q}</math>. ההרחבה <math>E/F</math> חבורת גלואה ונוצרת ע"י שתי העתקות <math>\sigma,\alpha</math> הנתונות ע"י:: <math>\sigma(i)=-i,~\sigma(\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}</math>: <math>\alpha(i)=i,~\alpha(\sqrt[4]{2})=i\sqrt[4]{2}</math>האיברים <math>\sigma,\alpha</math> מקיימים את היחסים <math>\alpha^4=\sigma^2=id</math> ו-<math>\alpha\sigma=\alpha^-1\sigma</math> (עם עוד קצת נימוקים זה מספיק כדי להראות ש-<math>Gal(E/F)\cong D_4</math>). בדקו שהחבורה <math><\sigma\alpha></math> מכילה שני איברים. כדי למצוא את <math>E^{<\sigma\alpha>}</math> נזכר ש-<math>E</math> שדה פיצול של <math>x^4-2</math> ושורשי הפולינום הם <math>\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2}</math> נסמן אותם ב-<math>a_1,a_2,a_3,a_4</math> בהתאמה. כעת, התמורה המתאימה ל-<math>\sigma\alpha</math> היא <math>(1,4)(2,3)</math>. לכן, <math>b=a_1+a_4\in E^H</math>. נבדוק האם <math>\mathbb{Q}[b]=E^H</math>. מתקיים <math>b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math> באשר <math>\rho_8=\exp(2\pi i/8)</math>. לכן, <math>b</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסויים <math>b=\sqrt[4]{-8}</math> אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>x=2y^{-1}</math>). לכן ההרחבה <math>\mathbb{Q}[b]/\mathbb{Q}</math> היא ממעלה 4. אבל <math>[E^{<\sigma\alpha}:\mathbb{Q}]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן <math>E^{<\sigma\alpha>}=\mathbb{Q}[\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math>. == בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם == בקרוב...
