שינויים

 == המשפט היסודי של תורת גלואה == '''משפט:''' תהי <math>E/F</math> הרחבת גלואה ממימד מממד סופי ותהי <math>G=\text{Gal}(E/F)</math> אזי קיימת התאמה חח"ע ועל בין::א. תתי שדות תת־שדות <math>F\subseteq sube K\subseteq sube E</math>:ב. תתי חבורות תת־חבורות <math>H\leq le G</math>ההתאמה שולחת חבורה <math>H</math> אל השדה <math>E^H=\bigl\{a\in E|:\sigma a=a~\forall\sigma\in H\bigr\}</math> ותת שדה ותת־שדה <math>F\subseteq sube K\subseteq sube E</math> אל החבורה <math>\text{Gal}(E/K)</math> (פונקציות אלו הפוכות זו לזו). בנוסף, ההתאמה מקיימת:

:3. <math>H_1\subseteq sube H_2</math> אם ורק אם <math>E^{H_1}\supseteq supe E^{H_2}</math> (אין טעות; כוון ההכלה מתהפך):4. <math>H</math> נורמלית ב-<math>G</math> אם ורק אם <math>E^H/F</math> נורמלית אם ורק אם <math>E^H/F</math> גלואה. במקרה זה, <math>\text{Gal}(E^H/F)\cong G/H</math>. האיזומורפיזם נתון ע"י שליחת קוסט <math>\sigma H</math> אל <math>\sigma|_{E^H}</math>.

בהינתן שדה <math>F\sube K\sube E</math> קל למצוא את תת החבורה המתאימה לו <math>H=\text{Gal}(E/K)</math> ע"י בדיקה אילו מאברי <math>G</math> מייצבים את <math>K</math> . בפרט, אם <math>K= חישוב בידיים של ההתאמה ==F[a_1,\ldots,a_n]</math> מספיק לבדוק אילו מאברי <math>G</math> מייצבים את <math>a_1,\ldots,a_n</math> .

נניח ש-לעומת זאת, בהינתן תת־חבורה <math>E/FH\le G</math> הרחבת גלואה ממימד סופי ומצאנו את חבורת גלואה לא תמיד ברור מהו תת־השדה המתאים לה <math>GK=Gal(E/F)^H</math>.

בהינתן שדה ראשית, נשים לב שהתנאי <math>Fa\subseteq K\subseteq in E^H</math> קל למצוא את תת החבורה המתאימה לו אומר <math>H\sigma a=Gal(Ea</K)math> לכל <math>\sigma\in H</math> ע"י בדיקה אילו מאברי . היות וכל <math>G\sigma\in H</math> מייצבים את היא העתקה לינארית מעל <math>KF</math>. בפרט, אם התנאים <math>K\{\sigma a=a\}_{\sigma\in H}</math> שקולים למשוואות לינאריות מעל <math>F[a_1,...,a_n]</math> מספיק לבדוק אילו מאברי . בסיס למרחב הפתרונות יהיה בסיס ל־<math>GE^H</math> מייצבים את מעל <math>a_1,...,a_nF</math>.

לעומת זאת, בהינתן תת חבורה שימו לב שכדי לתרגם משוואה מהצורה <math>H\leq Gsigma a=a</math> לא תמיד ברור מהו תת השדה המתאים לה למשוואה לינארית מעל <math>F</math> יש לבחור בסיס ל־<math>K=E^H</math>כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> . (הנעלמים יהיו הסקלרים אותם נכפיל באברי הבסיס.)

ראשיתהשיטה הנ"ל אמנם תמיד עובדת, אך בדרך כלל אורכת זמן לביצוע. לכן, נשים לב שהתנאי אם אפשר עדיף לנסות למצוא אברים <math>aa_1,\ldots,a_n\in E^H</math> אומר ולקוות שהם יוצרים את <math>\sigma a=a</math> לכל <math>\sigma\in E^H</math>. היות וכל <math>\sigma\in H</math> היא העתקה לינארית מעל <math>F</math>, התנאים <math>\{\sigma a=a\}_{\sigma\in H}</math> שקולים למשוואות לינאריות מעל <math>F</math>. בסיס למרחב הפתרונות יהיה בסיס ל-כעת יש שתי שאלות: איך נמצא את האברים ואיך נדע שהם יוצרים את <math>E^H</math> מעל <math>F</math>.

השיטה הנ"ל אמנם תמיד עובד, אך בדרך כלל לוקחת זמן לביצוע. לכן, אם אפשר עדיף לנסות למצוא איברים '''טענה:''' <math>E^H=F[a_1,...\ldots,a_n\in E^H]</math> ולקוות שהם יוצרים את אם ורק אם <math>E^H</math> מעל מייצבת את <math>Fa_1,\ldots,a_n</math>. כעת יש שתי שאלות: איך נמצא את האיברים ואיך נדע שהם יוצרים את וגם <math>E^[F[a_1,\ldots,a_n]:F]\ge[G:H]</math>.

תשובה לשאלה השנייה נובעת מהטענה הבאה'''הוכחה:''' תרגיל בעזרת המשפט היסודי של תורת גלואה.

'''טענה:''' לשאלה הראשונה אין תשובה פורמלית (חוץ מלפתור משוואות). לפעמים ברור שאברים הם ב־<math>E^H=</math> והם גם מספיקים כדי ליצור את כולו. להלן שתי דוגמאות::1. אם <math>\sigma</math> הוא צמצום של הצמוד המרוכב, אז כל מספר ממשי ב־<math>E</math> נמצא ב־<math>E^\sigma</math> .:2. נניח כי <math>E</math> שדה פיצול של <math>f</math> מעל <math>F[</math> ויהיו <math>a_1,\dotsldots,a_n]a_k\in E</math> אם ורק אם השורשים של <math>Hf</math> מייצבת את . אזי ניתן לחשוב על אברי <math>G</math> כתמורות ב־<math>S_k</math> (המתאימות לתמורות על השורשים <math>a_1,...\ldots,a_na_k</math> וגם ). נשים לב שאם <math>[F[a_1\sigma\in H</math> היא מכפלה של מחזורים זרים שאחד מהם הוא <math>(n_1,\dotsldots,a_n]:F]n_r)</math> אז <math>\geq [Gsum\limits_{i=1}^ra_{n_i},~\prod\limits_{i=1}^ra_{n_i}\in E^{<\sigma>}</math> .:3. באותן הנחות כמו ב־2, אם האינדקס <math>n</math> לא מופיע בייצוג של <math>\sigma\in H]</math> כמכפלת מחזורים זרים, אז <math>\sigma a_n=a_n</math>.

'''הוכחהדוגמא:''' תרגיל בעזרת המשפט היסודי של תורת נניח כי <math>E=\Q[\sqrt[4]{2},i],~F=\Q</math> . ההרחבה <math>E/F</math> חבורת גלואהונוצרת ע"י שתי העתקות <math>\sigma,\alpha</math> הנתונות ע"י::<math>\begin{align}\sigma(i)&=-i,~\sigma(\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}\\\alpha(i)&=i,~\alpha(\sqrt[4]{2})=i\sqrt[4]{2}\end{align}</math>האברים <math>\sigma,\alpha</math> מקיימים את היחסים <math>\alpha^4=\sigma^2=id,\alpha\sigma=\alpha^-1\sigma</math> (עם עוד קצת נימוקים זה מספיק כדי להראות כי <math>\text{Gal}(E/F)\cong D_4</math>). בדקו שהחבורה <math><\sigma\alpha></math> מכילה שני אברים.

לשאלה הראשונה אין תשובה פורמלית (חוץ מלפתור משוואות). לפעמים ברור שאיברים הם ב-כדי למצוא את <math>E^H{</math> והם גם מספיקים כדי ליצור את כולו. להלן שתי דוגמאות::1. אם <math>\sigma</math\alpha> הוא צמצום של הצמוד המרוכב, אז כל מספר ממשי ב-<math>E}</math> נמצא ב-<math>E^\sigma</math>.:2. נניח ש-נזכר כי <math>E</math> שדה פיצול של <math>fx^4-2</math> מעל ושורשי הפולינום הם <math>F</math> ויהיו <math>a_1\sqrt[4]{2},i\dotssqrt[4]{2},a_k-\in E</math> השורשים של <math>f</math>. אזי ניתן לחשוב על אברי <math>G</math> כתמורות בsqrt[4]{2},-<math>S_ki\sqrt[4]{2}</math> (המתאימות לתמורות על השורשים נסמן אותם ב־<math>a_1,\dotsa_2,a_ka_3,a_4</math>)בהתאמה. נשים לב שאם כעת, התמורה המתאימה ל־<math>\sigma\in Halpha</math> היא מכפלה של מחזורים זרים שאחד מהם הוא <math>(n_11,\dots4)(2,n_r3)</math> אז . לכן <math>\sum_{ib=1}^ra_{n_i},~\prod_{i=1}^ra_{n_i}a_1+a_4\in E^{<\sigma>}</math>.:3. באותן הנחות כמו ב-2, אם האינדקס <math>n</math> לא מופיע בייצוג של <math>\sigma\in H</math> כמכפלת מחזורים זרים, אז <math>\sigma a_n=a_n</math>.

'''דוגמא:''' נניח ש-נבדוק האם <math>E=\mathbb{Q}[\sqrt[4b]{2},i],~F=\mathbb{Q}E^H</math>. ההרחבה מתקיים <math>E/F</math> חבורת גלואה ונוצרת ע"י שתי העתקות <math>\sigma,\alpha</math> הנתונות ע"י:: <math>\sigma(i)b=-i,~\sigma(\sqrt[4]{2})=-i\sqrt[4]{2}</math>: <math>\alpha=(1-i)=i,~\alpha(\sqrt[4]{2})=i\rho_8^3\sqrt[4]{28}</math>באשר האיברים <math>\sigma,rho_8=e^{\alphafrac{2\pi}{8}i}</math> מקיימים את היחסים . לכן <math>\alphab</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסוים <math>b=\sigma^2=idsqrt[4]{-8}</math> ו-אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>\alpha\sigmax=\alpha2y^{-1\sigma}</math> (עם עוד קצת נימוקים זה מספיק כדי להראות ש-). לכן ההרחבה <math>Gal(E\Q[b]/F)\cong D_4Q</math>)היא ממעלה 4. בדקו שהחבורה אבל <math>[E^{<\sigma\alpha>}:\Q]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן <math>E^{<\sigma\alpha>}=\Q[\rho_8^3\sqrt[4]{8}]</math> מכילה שני איברים.

כדי למצוא את '''דוגמא:''' בסימונים של הדוגמא הקודמת, מהו <math>E^{<\sigma\alpha>}</math> נזכר ש-<math>E</math> שדה פיצול של <math>x^4-2</math> ושורשי הפולינום הם <math>\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2}</math> נסמן אותם ב-<math>a_1,a_2,a_3,a_4</math> בהתאמה. כעת, התמורה המתאימה ל-<math>\sigma\alpha</math> היא <math>(1,4)(2,3)</math>. לכן, <math>b=a_1+a_4\in E^H</math>.?

נבדוק האם תשובה: התמורה המתאימה ל־<math>\mathbb{Q}[b]=Esigma^H2\alpha</math>. מתקיים היא <math>b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^,3\sqrt[4]{8}</math> באשר <math>\rho_8=\exp(2\pi i/8)</math>. לכן, <math>b</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסויים <math>b=i\sqrt[4]{-82}</math> אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>x=2y^{-1}</math>). לכן ההרחבה <math>a_2\mathbb{Q}[b]/\mathbb{Q}</math> היא ממעלה 4. אבל <math>[in E^{<\sigma\alpha^2>}:\mathbb{Q}]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן . אותם שיקולי ממד מהדוגמא הקודמת יראו כי <math>E^{<\sigma\alpha^2>}=\mathbb{Q}[\rho_8^3i\sqrt[4]{82}]</math>.

== בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם ==בקרוב... אלא אם אחד הסטודנטים מתנדב לכתוב בעצמו את הערך הזה.