התכנסות במ"ש

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הגדרה

עד כה הגדרנו התכנסות נקודתית של סדרת וטור פונקציות לפונקצית הגבול. ניתן לנסח התכנסות סדרת פונקציות נקודתית בכלל הלוגי הבא:

\forall x_0\in D\forall \epsilon >0 \exists N_{x_0,\epsilon}\forall n>N_{x_0,\epsilon}:|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon

כאשר D הוא תחום ההגדרה של פונקצית הגבול.


אנו אומרים כי סדרת הפונקציות מתכנסת במידה שווה (במ"ש) בתחום A\subseteq D אם קיים N_\epsilon המתאים לכל x\in A. כלומר מתקיים התנאי הלוגי הבא:

\forall \epsilon >0\exists N_\epsilon\forall n>N_\epsilon \forall x\in A:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon


ניתן גם לומר שסדרת פונקציות מתכנסת במידה שווה אם לכל אפסילון קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל הפונקציות נמצאות בין פונקצית הגבול פחות אפסילון לפונקצית הגבול ועוד אפסילון.


מסמנים התכנסות במ"ש: f_n(x)\rightrightarrows f(x)

תנאי שקול

סדרת פונקציות f_n(x) מתכנסת במ"ש לפונקציה הגבול f(x) בתחום A אם"ם


\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|\Big]=0

דוגמאות

1.

ראינו כי x^n\rightarrow 0 בתחום (-1,1). האם התכנסות בתחום זה במ"ש?

\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in (-1,1)}|x^n-0|\Big]=1\neq 0

ולכן ההתכנסות בתחום זה אינה במ"ש


2.

קל לוודא כי x^n-x^{n+1}\rightarrow 0 בתחום A=(0,1). האם זו התכנסות במ"ש?

\sup_{x\in A}|x^n-x^{n+1}|=\Big[\frac{n}{n+1}\Big]^n(1-\frac{n}{n+1})\rightarrow 0

ולכן זו התכנסות במ"ש. שימו לב שאת הסופרמום מצאנו באמצעות חקירת פונקציות