==דוגמאות==
===א===
מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה
<math>A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix}</math>
'''פתרון.'''
קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>:
<math>-f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math>
לכן '''הערכים העצמיים''' של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הינם '''2''' ו'''6'''.
כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של <math>A</math>.
המרחב העצמי של <math>\lambda</math> שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>(A-\lambda I)v=0</math>.
בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הינו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הינו <math>\{(1,2,1)\}</math>.