שינויים
/* שיטות הערכות שגיאה - לגראנז', לייבניץ, חסימה על ידי טור הנדסי */
[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2]]
אהבתם חדו"א 2? אז תעופו על [[חדוא 1 - ארז שיינר|חדו"א 1]]! =תקציר מבחנים לדוגמא====מבחנים לדוגמא של מתמטיקה===*[[מדיה:15infi2MoedASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ה]]*[[מדיה:15infi2MoedBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ה]]*[[מדיה:15infi2MoedC.pdf|מועד ג' תשע"ה]]**[[מדיה:15infi2MoedCSol.pdf|פתרון חלקי מועד ג' תשע"ה]]*[[מדיה:15infi2DumbTest.pdf|מבחן לדוגמא תשע"ה]]**[[מדיה:15infi2DumbTestSol.pdf|פתרון חלקי מבחן לדוגמא תשע"ה]]*[[מדיה:17Infi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ז]]**[[מדיה:17Infi2TestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ז]]*[[מדיה:17Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשע"ז]]*[[מדיה:17Infi2ExmpTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]]*[[מדיה:18Infi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ח]]**[[מדיה:18Infi2TestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ח]]*[[מדיה:18Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשע"ח]]**[[מדיה:18Infi2TestBSol.pdf|פתרון חלקי מועד ב' תשע"ח]]*[[מדיה:19Infi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ט]]**[[מדיה:19Infi2TestASol.pdf|פתרון חלקי מועד א' תשע"ט]]*[[מדיה:19Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]]*[[מדיה:20Infi2TestA.pdf|מועד א' תש"ף]]**[[מדיה:20Infi2TestASol.pdf|פתרון מועד א' תש"ף]] ===מבחנים לדוגמא של מדעי המחשב===שימו לב שפונקציות בשתי משתנים אינן בחומר שלנו.*[[מדיה:18CSInfi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ח]]**[[מדיה:18CSInfi2TestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ח]]*[[מדיה:_Infi2_16_Alef_Solutions.pdf|פתרון מועד א תשע"ו]]*[[מדיה:16Infi2CSexmpTest.pdf|מבחן דמה תשע"ו]]*[[מדיה:Infi2 16 Bet.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ו]] ===מבחנים לדוגמא של מבוא לאנליזה 2 למורים===שימו לב שמדובר בקורס מבוא פחות מעמיק מהקורס שלנו.*[[מבחנים בקורס אנליזה 2 למורים]] ===מבחנים לדוגמא של חדו"א 1 להנדסה===שימו לב שאלות 2 ו6 תמיד רלוונטיות לקורס זה.*[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|קישור למבחנים]] =סרטוני ותקציר ההרצאות= [https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-vOI1v8wP7J2QzKtGpV1e60 פלייליסט של כל הסרטונים]
==פרק 1 - האינטגרל הלא מסויים==
====פונקציה רציונאלית====
*פולינום הוא פונקציה מהצורה <math>p(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math>
*דרגת הפולינום היא n אם <math>a_n x^n</math> הוא המונום עם החזקה הגבוהה ביותר כך ש <math>a_n\neq 0</math>
*אפשר לומר שדרגת פולינום האפס היא מינוס אינסוף.
*פולינום נקרא פריק אם ניתן להציג אותו כמכפלה של פולינומים מדרגה 1 ומעלה, נעסוק בפולינומים ממשיים בלבד בהקשר זה.
*פולינום מדרגה 1 אינו פריק
*פולינום מדרגה 2 (פרבולה) פריק אם ורק אם יש לו שורש ממשי.
*כל פולינום מדרגה 3 ומעלה פריק.
*מציאת שורשים של פולינום ופירוקו -
**ננחש שורש ונבדוק שהוא אכן מאפס את הפולינום ע"י הצבה
**אם a שורש, נחלק את הפולינום ב<math>(x-a)</math>
**כך הלאה.
*הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים
<videoflash>K5c-i9GIF4s</videoflash>
*שבר חלקי של גורם אי פריק לינארי <math>x+a</math> הוא ביטוי מהצורה <math>\frac{A}{(x+a)^k}</math>
*שבר חלקי של גורם אי פריק ריבועי <math>x^2+bx+c</math> (כך שאין לו שורשים ממשיים) הוא ביטוי מהצורה <math>\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^k}</math>
*כל פונקציה רציונאלית בה דרגת המונה קטנה ממש מדרגת המכנה ניתן להציג באופן יחיד כסכום של שברים חלקיים (כפול קבוע).
<videoflash>cexA1w14A-I</videoflash>
====הצבות אוניברסאליות====
*נסמן
**<math>\displaystyle{M_k=\sup_{[x_{k-1},x_k]}(f)}</math>
**<math>\displaystyle{m_k=\sup_inf_{[x_{k-1},x_k]}(f)}</math>
**<math>\Delta x_k= x_k-x_{k-1}</math>
*נגדיר
<videoflash>XpI34f-g0V0</videoflash>
*לכל פונקציה אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math> '''נגדיר''' כי:
**<math>\int_b^a f=-\int_a^b f</math>
**<math>\int_a^a f = 0</math>
*תרגיל: אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב<math>[a,b]</math> אזי <math>f+g</math> אינטגרבילית בקטע, וכך גם <math>cf</math> לכל קבוע <math>c\in\mathbb{R}</math>. כמו כן מתקיים כי:
**<math>\int_a^b (f+g) = \int_a^b f + \int_a^b g</math>
**<math>\int_a^b (cf) = c\cdot \int_a^b f</math>
===סכומי רימן===
<videoflash>gigeMtUkIEg</videoflash>
*משפט מאד שימושי:
**תהי פונקציה <math>f</math> הרציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אזי:
**<math>a_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \to \int_0^1 f</math>
==פרק 3 - הקשר בין האינטגרל המסויים ללא מסויים==
כבר במאות ה4 וה3 לפנה"ס [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%A1 אוקלידס] ו[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9E%D7%93%D7%A1 ארכימדס] ידעו לחשב היקפים, שטחים ונפחים, אך רק במאה ה17 לספירה [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%99%D7%96%D7%A7_%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%98%D7%95%D7%9F ניוטון] ו[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%95%D7%98%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%93_%D7%95%D7%99%D7%9C%D7%94%D7%9C%D7%9D_%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%91%D7%A0%D7%99%D7%A5 לייבניץ] המציאו את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
כלומר, ההבנה שיש קשר בין שטחים (האינטגרל המסויים) לבין פונקציות קדומות (אינטגרל לא מסוים) הגיעה כמעט 2000 שנה לאחר שכבר ידעו לחשב שטחים.
בפרק זה נוכיח את הקשר הזה שבין החשבון הדיפרנציאלי לאינטגרלי בעזרת '''המשפט היסודי של החדו"א'''.
===המשפט היסודי של החדו"א===
*עבור פונקציה אינטגרבילית, בנקודות בהן היא רציפה מתקיים כי <math>\displaystyle{S'(x)=\left(\int_a^x f(t)dt\right)' = f(x)}</math>
*תהי f אינטגרבילית וF קדומה אזי <math>\displaystyle{\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)}</math>
<videoflash>0SWk8jqaFDY</videoflash>
===גרסא חלשה ופשוטה של המשפט היסודי===
*תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> ותהי <math>S(x)=\int_a^x f(t)dt</math> פונקצית השטח שלה.
*אזי לכל <math>a<x_0<b</math> מתקיים כי <math>S'(x_0)=f(x_0)</math>
===הוכחה===
[[קובץ:ftcalculus.png|600px]]
*לפי [[משפט ערך הממוצע האינטגרלי]] לכל x בקטע קיימת c בקטע כך ש <math>f(c)=\frac{\int_{x_0}^x f(t)dt}{x-x_0}=\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}</math>
*לכן לכל סדרה <math>x_0>x_n \to x_0 </math> קיימת סדרת נקודות <math>x_0\leq c_n \leq x_n</math> כך ש <math>f(c_n)=\frac{S(x_n)-S(x_0)}{x_n-x_0}</math>
*לפי משפט הסנדביץ' <math>c_n \to x_0</math> וכיוון ש<math>f</math> רציפה, נובע כי <math>f(c_n)\to f(x_0)</math>
*לכן קיבלנו כי <math>lim_{x\to x_0^+}\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)</math>
*ניתן להוכיח באופן דומה שזה גם הגבול השמאלי, ובסה"כ לפי הגדרת הנגזרת קיבלנו כי <math>S'(x_0)=f(x_0)</math>
===הגדרת המספר π, וחישוב היקף ושטח מעגל===
<videoflash>QbObB9rYw4Q</videoflash>
*משפט:
**האינטגרל <math>\displaystyle{\int_0^1\frac{1}{x^\alpha}dx}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha<1</math>
**האינטגרל <math>\displaystyle{\int_1^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha>1</math>
*הערה: נניח <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס, האם <math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} f(x)= 0}</math>?
**בלי נתונים נוספים
**כאשר f רציפה
**כאשר f רציפה וחיובית
**כאשר נתון שלf יש גבול
===מבחני השוואה לאינטגרלים חיוביים===
===התכנסות בהחלט וקריטריון היינה===
*קריטריון היינה:
**אינטגרל לא אמיתי מקיים קריטריון היינה אם לכל שתי סדרות בקטע השואפת השואפות לנקודה הבעייתית מתקיים כי:
**<math>\int_{a_n}^{b_n} f(x)dx \to 0</math>
**<math>g</math> רציפה.
**ל<math>g</math> יש קדומה <math>G</math> חסומה.
*אזי האינטגרל <math>\displaystyle{\int_a^\infty f(x)g(x)}dx</math> מתכנס.
<videoflash>wU73--emtSg</videoflash>
*דוגמא: סדרת פונקציות גזירות המתכנסת במ"ש לפונקצית גבול שאינה גזירה
**<math>f_n(x)=\sqrt{x^2 +\frac{1}{n}}\rightrightarrows |x|</math>
*סדרת פונקציות המתכנסת בנקודה, שנגזרותיה רציפות ומתכנסות במ"ש בA מקיימת בA:
**<math>f_n\to f</math> וגם <math>f'_n\to f'</math>
***הטור מתבדר כאשר <math>|x-a|>R</math>.
***את שני הקצוות <math>x=a\pm R</math> צריך להציב, ולבחון את התכנסות טורי המספרים שנקבל באמצעות מבחני התכנסות.
**כאשר <math>0<R</math> אזי לכל <math>0<r<R</math> מתקיים כי הטור מתכנס '''במ"ש''' בתחום <math>[a-r,a+r]</math>
<videoflash>SjQGanyldmk</videoflash>
====פיתוח טורי טיילור====
<videoflash>KEnspLE5278</videoflash>
[[פונקצית האקספוננט|למידע נוסף על האקספוננט]]
====משפט אבל על התכנסות בקצה התחום====
*יהי טור <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n</math> עם רדיוס התכנסות <math>0<R<\infty</math>.*אם <math>f(a+R)</math> מתכנס אזי <math>\displaystyle{\lim_{x\to (a+R)^-}f(x)=f(a+R)}</math>*אם <math>f(a-R)</math> מתכנס אזי <math>\displaystyle{\lim_{x\to (a-R)^+}f(x)=f(a-R)}</math><videoflash>Yi6Q-e1hAWY</videoflash>
====קירובים והערכות שגיאה====
*אם הטור חסום ע"י טור הנדסי אזי השגיאה מקיימת:
**<math>|R_k|\leq \sum_{n=k}^\infty c\cdot q^n = c(\sum_{n=0}^\infty q^n - \sum_{n=0}^{k-1}q^n) = c(\frac{1}{1-q} - \frac{1-q^k}{1-q})=\frac{c\cdot q^k}{1-q} </math>
*בסרטון נקרב את המספרים הבאים:
**<math>ln(2)</math>
**<math>\pi</math>
**<math>e</math>
**<math>\int_0^1 e^{-x^2}dx</math>
<videoflash>7Zf4L75o_I8</videoflash>
=====טור הטיילור של ההופכית של סינוס, וקירוב מהיר של π=====
**<math>\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^24^{n+1}}\cdot\frac{(n!)^24^n}{(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(2(n+1))^2}<1</math>
*לכן מדובר בסדרה יורדת שכל איבריה קטנים או שווים ל<math>a_0=1</math>
*לכן <math>\frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n} = \frac{(2n)!}{(n!)^24^n}\cdot\frac{3}{(2n+1)4^n}\leq \frac{3}{2(2n+1)4^n}</math>
*לכן בקירוב <math>\pi</math> ע"י k האיברים הראשונים נקבל שגיאה:
**<math>|R_k|=\sum_{n=k}^\infty \frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n} \leq \sum_{n=k}^\infty \frac{3}{2(2n+1)4^n}\leq</math> **<math>\leq\frac{3}{2(2k+1)}\sum_{n=k}\frac{1}{4^n} = \frac{3}{2(2k+1)}\frac{\frac{1}{4^k}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{21}{(2k+1)4^{k-1}}</math>
*<math>\pi\approx 3+\frac{3\cdot 2!}{3\cdot (1!)^2 \cdot 16}+\frac{3\cdot 4!}{5\cdot (2!)^2 \cdot 16^2}+
\frac{3\cdot 6!}{7\cdot (3!)^2 \cdot 16^3}+\frac{3\cdot 8!}{9\cdot (4!)^2 \cdot 16^4}+\frac{3\cdot 10!}{11\cdot (5!)^2 \cdot 16^5} </math>
אהבתם חדו"א 2? אז תעופו על [[חדוא 1 - ארז שיינר|חדו"א 1]]!
