שינויים
/* שיטות הערכות שגיאה - לגראנז', לייבניץ, חסימה על ידי טור הנדסי */
*שבר חלקי של גורם אי פריק לינארי <math>x+a</math> הוא ביטוי מהצורה <math>\frac{A}{(x+a)^k}</math>
*שבר חלקי של גורם אי פריק ריבועי <math>x^2+bx+c</math> (כך שאין לו שורשים ממשיים) הוא ביטוי מהצורה <math>\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^k}</math>
*כל פונקציה רציונאלית בה דרגת המונה קטנה ממש מדרגת המכנה ניתן להציג באופן יחיד כסכום של שברים חלקיים (כפול קבוע).
<videoflash>XpI34f-g0V0</videoflash>
*לכל פונקציה אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math> '''נגדיר''' כי:
**<math>\int_b^a f=-\int_a^b f</math>
**<math>\int_a^a f = 0</math>
*תרגיל: אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב<math>[a,b]</math> אזי <math>f+g</math> אינטגרבילית בקטע, וכך גם <math>cf</math> לכל קבוע <math>c\in\mathbb{R}</math>. כמו כן מתקיים כי:
**<math>\int_a^b (f+g) = \int_a^b f + \int_a^b g</math>
**<math>\int_a^b (cf) = c\cdot \int_a^b f</math>
===סכומי רימן===
==פרק 3 - הקשר בין האינטגרל המסויים ללא מסויים==
כבר במאות ה4 וה3 לפנה"ס [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%A1 אוקלידס] ו[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9E%D7%93%D7%A1 ארכימדס] ידעו לחשב היקפים, שטחים ונפחים, אך רק במאה ה17 לספירה [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%99%D7%96%D7%A7_%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%98%D7%95%D7%9F ניוטון] ו[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%95%D7%98%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%93_%D7%95%D7%99%D7%9C%D7%94%D7%9C%D7%9D_%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%91%D7%A0%D7%99%D7%A5 לייבניץ] המציאו את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
כלומר, ההבנה שיש קשר בין שטחים (האינטגרל המסויים) לבין פונקציות קדומות (אינטגרל לא מסוים) הגיעה כמעט 2000 שנה לאחר שכבר ידעו לחשב שטחים.
בפרק זה נוכיח את הקשר הזה שבין החשבון הדיפרנציאלי לאינטגרלי בעזרת '''המשפט היסודי של החדו"א'''.
===המשפט היסודי של החדו"א===
*עבור פונקציה אינטגרבילית, בנקודות בהן היא רציפה מתקיים כי <math>\displaystyle{S'(x)=\left(\int_a^x f(t)dt\right)' = f(x)}</math>
*תהי f אינטגרבילית וF קדומה אזי <math>\displaystyle{\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)}</math>
<videoflash>0SWk8jqaFDY</videoflash>
===גרסא חלשה ופשוטה של המשפט היסודי===
*תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> ותהי <math>S(x)=\int_a^x f(t)dt</math> פונקצית השטח שלה.
*אזי לכל <math>a<x_0<b</math> מתקיים כי <math>S'(x_0)=f(x_0)</math>
===הוכחה===
[[קובץ:ftcalculus.png|600px]]
*לפי [[משפט ערך הממוצע האינטגרלי]] לכל x בקטע קיימת c בקטע כך ש <math>f(c)=\frac{\int_{x_0}^x f(t)dt}{x-x_0}=\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}</math>
*לכן לכל סדרה <math>x_0>x_n \to x_0 </math> קיימת סדרת נקודות <math>x_0\leq c_n \leq x_n</math> כך ש <math>f(c_n)=\frac{S(x_n)-S(x_0)}{x_n-x_0}</math>
*לפי משפט הסנדביץ' <math>c_n \to x_0</math> וכיוון ש<math>f</math> רציפה, נובע כי <math>f(c_n)\to f(x_0)</math>
*לכן קיבלנו כי <math>lim_{x\to x_0^+}\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)</math>
*ניתן להוכיח באופן דומה שזה גם הגבול השמאלי, ובסה"כ לפי הגדרת הנגזרת קיבלנו כי <math>S'(x_0)=f(x_0)</math>
===הגדרת המספר π, וחישוב היקף ושטח מעגל===
**האינטגרל <math>\displaystyle{\int_0^1\frac{1}{x^\alpha}dx}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha<1</math>
**האינטגרל <math>\displaystyle{\int_1^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha>1</math>
*הערה: נניח <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס, האם <math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} f(x)= 0}</math>?
**בלי נתונים נוספים
**כאשר f רציפה
**כאשר f רציפה וחיובית
**כאשר נתון שלf יש גבול
===מבחני השוואה לאינטגרלים חיוביים===
===התכנסות בהחלט וקריטריון היינה===
*קריטריון היינה:
**אינטגרל לא אמיתי מקיים קריטריון היינה אם לכל שתי סדרות בקטע השואפת השואפות לנקודה הבעייתית מתקיים כי:
**<math>\int_{a_n}^{b_n} f(x)dx \to 0</math>
*דוגמא: סדרת פונקציות גזירות המתכנסת במ"ש לפונקצית גבול שאינה גזירה
**<math>f_n(x)=\sqrt{x^2 +\frac{1}{n}}\rightrightarrows |x|</math>
*סדרת פונקציות המתכנסת בנקודה, שנגזרותיה רציפות ומתכנסות במ"ש בA מקיימת בA:
**<math>f_n\to f</math> וגם <math>f'_n\to f'</math>
***הטור מתבדר כאשר <math>|x-a|>R</math>.
***את שני הקצוות <math>x=a\pm R</math> צריך להציב, ולבחון את התכנסות טורי המספרים שנקבל באמצעות מבחני התכנסות.
**כאשר <math>0<R</math> אזי לכל <math>0<r<R</math> מתקיים כי הטור מתכנס '''במ"ש''' בתחום <math>[a-r,a+r]</math>
<videoflash>SjQGanyldmk</videoflash>
====פיתוח טורי טיילור====
<videoflash>KEnspLE5278</videoflash>
[[פונקצית האקספוננט|למידע נוסף על האקספוננט]]
====משפט אבל על התכנסות בקצה התחום====
*אם הטור חסום ע"י טור הנדסי אזי השגיאה מקיימת:
**<math>|R_k|\leq \sum_{n=k}^\infty c\cdot q^n = c(\sum_{n=0}^\infty q^n - \sum_{n=0}^{k-1}q^n) = c(\frac{1}{1-q} - \frac{1-q^k}{1-q})=\frac{c\cdot q^k}{1-q} </math>
*בסרטון נקרב את המספרים הבאים:
**<math>ln(2)</math>
**<math>\pi</math>
**<math>e</math>
**<math>\int_0^1 e^{-x^2}dx</math>
