שינויים
/* שיטות הערכות שגיאה - לגראנז', לייבניץ, חסימה על ידי טור הנדסי */
==פרק 3 - הקשר בין האינטגרל המסויים ללא מסויים==
כבר במאות ה4 וה3 לפנה"ס [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%A1 אולידסאוקלידס] ו[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9E%D7%93%D7%A1 ארכימדס] ידעו לחשב היקפים, שטחים ונפחים, אך רק במאה ה17 לספירה [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%99%D7%96%D7%A7_%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%98%D7%95%D7%9F ניוטון] ו[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%95%D7%98%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%93_%D7%95%D7%99%D7%9C%D7%94%D7%9C%D7%9D_%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%91%D7%A0%D7%99%D7%A5 לייבניץ] המציאו את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
כלומר, ההבנה שיש קשר בין שטחים (האינטגרל המסויים) לבין פונקציות קדומות (אינטגרל לא מסוים) הגיעה כמעט 2000 שנה לאחר שכבר ידעו לחשב שטחים.
**האינטגרל <math>\displaystyle{\int_0^1\frac{1}{x^\alpha}dx}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha<1</math>
**האינטגרל <math>\displaystyle{\int_1^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha>1</math>
*הערה: נניח <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס, האם <math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} f(x)= 0}</math>?
**בלי נתונים נוספים
**כאשר f רציפה
**כאשר f רציפה וחיובית
**כאשר נתון שלf יש גבול
===מבחני השוואה לאינטגרלים חיוביים===
===התכנסות בהחלט וקריטריון היינה===
*קריטריון היינה:
**אינטגרל לא אמיתי מקיים קריטריון היינה אם לכל שתי סדרות בקטע השואפת השואפות לנקודה הבעייתית מתקיים כי:
**<math>\int_{a_n}^{b_n} f(x)dx \to 0</math>
*דוגמא: סדרת פונקציות גזירות המתכנסת במ"ש לפונקצית גבול שאינה גזירה
**<math>f_n(x)=\sqrt{x^2 +\frac{1}{n}}\rightrightarrows |x|</math>
*סדרת פונקציות המתכנסת בנקודה, שנגזרותיה רציפות ומתכנסות במ"ש בA מקיימת בA:
**<math>f_n\to f</math> וגם <math>f'_n\to f'</math>
***הטור מתבדר כאשר <math>|x-a|>R</math>.
***את שני הקצוות <math>x=a\pm R</math> צריך להציב, ולבחון את התכנסות טורי המספרים שנקבל באמצעות מבחני התכנסות.
**כאשר <math>0<R</math> אזי לכל <math>0<r<R</math> מתקיים כי הטור מתכנס '''במ"ש''' בתחום <math>[a-r,a+r]</math>
<videoflash>SjQGanyldmk</videoflash>
====פיתוח טורי טיילור====
<videoflash>KEnspLE5278</videoflash>
[[פונקצית האקספוננט|למידע נוסף על האקספוננט]]
====משפט אבל על התכנסות בקצה התחום====
*אם הטור חסום ע"י טור הנדסי אזי השגיאה מקיימת:
**<math>|R_k|\leq \sum_{n=k}^\infty c\cdot q^n = c(\sum_{n=0}^\infty q^n - \sum_{n=0}^{k-1}q^n) = c(\frac{1}{1-q} - \frac{1-q^k}{1-q})=\frac{c\cdot q^k}{1-q} </math>
*בסרטון נקרב את המספרים הבאים:
**<math>ln(2)</math>
**<math>\pi</math>
**<math>e</math>
**<math>\int_0^1 e^{-x^2}dx</math>
