שינויים

חדוא 2 - ארז שיינר

נוספו 16,009 בתים, 19:59, 2 במרץ 2022

/* פרק 6 - טורי טיילור וקירובים */

[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2]]

אהבתם חדו"א 2? אז תעופו על [[חדוא 1 - ארז שיינר|חדו"א 1]]! =~~תקציר~~ מבחנים לדוגמא====מבחנים לדוגמא של מתמטיקה===*[[מדיה:21Infi2TestAHamama.pdf|מועד א' החממה תשפ"א]]*[[מדיה:21Infi2TestC.pdf|מועד ג' תשפ"א]]*[[מדיה:21Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשפ"א]]*[[מדיה:21Infi2TestA.pdf|מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:21Infi2TestASol.pdf|פתרון]]*[[מדיה:20Infi2TestB.pdf|מועד ב' תש"ף]]*[[מדיה:20Infi2TestA.pdf|מועד א' תש"ף]], [[מדיה:20Infi2TestASol.pdf|פתרון]]*[[מדיה:19Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]]*[[מדיה:19Infi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19Infi2TestASol.pdf|פתרון]]*[[מדיה:18Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18Infi2TestBSol.pdf|פתרון חלקי]]*[[מדיה:18Infi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18Infi2TestASol.pdf|פתרון]]*[[מדיה:17Infi2ExmpTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]]*[[מדיה:17Infi2TestB.pdf|מועד ב' תשע"ז]]*[[מדיה:17Infi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi2TestASol.pdf|פתרון]]*[[מדיה:15infi2DumbTest.pdf|מבחן לדוגמא תשע"ה]], [[מדיה:15infi2DumbTestSol.pdf|פתרון חלקי]]*[[מדיה:15infi2MoedC.pdf|מועד ג' תשע"ה]], [[מדיה:15infi2MoedCSol.pdf|פתרון חלקי]]*[[מדיה:15infi2MoedBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ה]]*[[מדיה:15infi2MoedASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ה]] ===מבחנים לדוגמא של מדעי המחשב===שימו לב שפונקציות בשתי משתנים אינן בחומר שלנו.*[[מדיה:18CSInfi2TestA.pdf|מועד א' תשע"ח]]**[[מדיה:18CSInfi2TestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ח]]*[[מדיה:_Infi2_16_Alef_Solutions.pdf|פתרון מועד א תשע"ו]]*[[מדיה:16Infi2CSexmpTest.pdf|מבחן דמה תשע"ו]]*[[מדיה:Infi2 16 Bet.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ו]] ===מבחנים לדוגמא של מבוא לאנליזה 2 למורים===שימו לב שמדובר בקורס מבוא פחות מעמיק מהקורס שלנו.*[[מבחנים בקורס אנליזה 2 למורים]] ===מבחנים לדוגמא של חדו"א 1 להנדסה===שימו לב שאלות 2 ו6 תמיד רלוונטיות לקורס זה.*[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|קישור למבחנים]] =סרטוני ותקציר ההרצאות= [https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-vOI1v8wP7J2QzKtGpV1e60 פלייליסט של כל הסרטונים]

==פרק 1 - האינטגרל הלא מסויים==

*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-vdcyhZjF-31TqlpHEJysZy פלייליסט פרק 1 על שיטות אינטגרציה והאינטגרל הלא מסויים]

*הגדרה: F נקראת פונקציה קדומה של f בקטע A אם לכל נקודה בקטע מתקיים כי <math>F'=f</math>

*אינטגרלים מיידיים ידועים לנו מנוסחאות הגזירה.

===שיטות למציאת קדומה===

====אינטגרציה בחלקים====

====שיטת הההצבה====

====פונקציה רציונאלית====

*פולינום הוא פונקציה מהצורה <math>p(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math>

*דרגת הפולינום היא n אם <math>a_n x^n</math> הוא המונום עם החזקה הגבוהה ביותר כך ש <math>a_n\neq 0</math>

*אפשר לומר שדרגת פולינום האפס היא מינוס אינסוף.

*פולינום נקרא פריק אם ניתן להציג אותו כמכפלה של פולינומים מדרגה 1 ומעלה, נעסוק בפולינומים ממשיים בלבד בהקשר זה.

*פולינום מדרגה 1 אינו פריק

*פולינום מדרגה 2 (פרבולה) פריק אם ורק אם יש לו שורש ממשי.

*כל פולינום מדרגה 3 ומעלה פריק.

*מציאת שורשים של פולינום ופירוקו -

**ננחש שורש ונבדוק שהוא אכן מאפס את הפולינום ע"י הצבה

**אם a שורש, נחלק את הפולינום ב<math>(x-a)</math>

**כך הלאה.

*הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים

*שבר חלקי של גורם אי פריק לינארי <math>x+a</math> הוא ביטוי מהצורה <math>\frac{A}{(x+a)^k}</math>

*שבר חלקי של גורם אי פריק ריבועי <math>x^2+bx+c</math> (כך שאין לו שורשים ממשיים) הוא ביטוי מהצורה <math>\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^k}</math>

*כל פונקציה רציונאלית בה דרגת המונה קטנה ממש מדרגת המכנה ניתן להציג באופן יחיד כסכום של שברים חלקיים (כפול קבוע).

====הצבות אוניברסאליות====

==פרק 2 - האינטגרל המסויים==

*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sufB6tkkmjzNhLP5n9hzNP פלייליסט הסרטונים על אינטגרביליות]

===סכומי דרבו ואינטגרל עליון ותחתון===

*נסמן

**<math>\displaystyle{M_k=\sup_{[x_{k-1},x_k]}(f)}</math>

**<math>\displaystyle{m_k=\~~sup_~~inf_{[x_{k-1},x_k]}(f)}</math>

**<math>\Delta x_k= x_k-x_{k-1}</math>

*נגדיר

*לכל פונקציה אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math> '''נגדיר''' כי:

**<math>\int_b^a f=-\int_a^b f</math>

**<math>\int_a^a f = 0</math>

*תרגיל: אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב<math>[a,b]</math> אזי <math>f+g</math> אינטגרבילית בקטע, וכך גם <math>cf</math> לכל קבוע <math>c\in\mathbb{R}</math>. כמו כן מתקיים כי:

**<math>\int_a^b (f+g) = \int_a^b f + \int_a^b g</math>

**<math>\int_a^b (cf) = c\cdot \int_a^b f</math>

===סכומי רימן===

<videoflash>gigeMtUkIEg</videoflash>

*משפט מאד שימושי:

**תהי פונקציה <math>f</math> הרציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אזי:

**<math>a_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \to \int_0^1 f</math>

==פרק 3 - הקשר בין האינטגרל המסויים ללא מסויים==

*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-uKXx2wzuySFarcu1MrSc55 פלייליסט המשפט היסודי של החדו"א ושימושיו]

כבר במאות ה4 וה3 לפנה"ס [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%A1 אוקלידס] ו[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%9E%D7%93%D7%A1 ארכימדס] ידעו לחשב היקפים, שטחים ונפחים, אך רק במאה ה17 לספירה [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%99%D7%96%D7%A7_%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%98%D7%95%D7%9F ניוטון] ו[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%95%D7%98%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%93_%D7%95%D7%99%D7%9C%D7%94%D7%9C%D7%9D_%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%91%D7%A0%D7%99%D7%A5 לייבניץ] המציאו את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

כלומר, ההבנה שיש קשר בין שטחים (האינטגרל המסויים) לבין פונקציות קדומות (אינטגרל לא מסוים) הגיעה כמעט 2000 שנה לאחר שכבר ידעו לחשב שטחים.

בפרק זה נוכיח את הקשר הזה שבין החשבון הדיפרנציאלי לאינטגרלי בעזרת '''המשפט היסודי של החדו"א'''.

===המשפט היסודי של החדו"א===

*עבור פונקציה אינטגרבילית, בנקודות בהן היא רציפה מתקיים כי <math>\displaystyle{S'(x)=\left(\int_a^x f(t)dt\right)' = f(x)}</math>

<videoflash>0SWk8jqaFDY</videoflash>

~~===הגדרת המספר <math>\pi</math>, וחישוב היקף ושטח מעגל===~~

~~<videoflash>PaoWoULlBdo</videoflash>~~

===גרסא חלשה ופשוטה של המשפט היסודי===

*תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> ותהי <math>S(x)=\int_a^x f(t)dt</math> פונקצית השטח שלה.

*אזי לכל <math>a<x_0<b</math> מתקיים כי <math>S'(x_0)=f(x_0)</math>

===הוכחה===

[[קובץ:ftcalculus.png|600px]]

*לפי [[משפט ערך הממוצע האינטגרלי]] לכל x בקטע קיימת c בקטע כך ש <math>f(c)=\frac{\int_{x_0}^x f(t)dt}{x-x_0}=\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}</math>

*לכן לכל סדרה <math>x_0>x_n \to x_0 </math> קיימת סדרת נקודות <math>x_0\leq c_n \leq x_n</math> כך ש <math>f(c_n)=\frac{S(x_n)-S(x_0)}{x_n-x_0}</math>

*לפי משפט הסנדביץ' <math>c_n \to x_0</math> וכיוון ש<math>f</math> רציפה, נובע כי <math>f(c_n)\to f(x_0)</math>

*לכן קיבלנו כי <math>lim_{x\to x_0^+}\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)</math>

*ניתן להוכיח באופן דומה שזה גם הגבול השמאלי, ובסה"כ לפי הגדרת הנגזרת קיבלנו כי <math>S'(x_0)=f(x_0)</math>

===הגדרת המספר π, וחישוב היקף ושטח מעגל===

<videoflash>PaoWoULlBdo</videoflash>

===נפח גוף סיבוב===

==פרק 4 - אינטגרלים לא אמיתיים (מוכללים)==

*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-shDv-mM3mDVkxtOSD8qabz פלייליסט של אינטגרלים לא אמיתיים]

===השופר של גבריאל===

<videoflash>QbObB9rYw4Q</videoflash>

*משפט:

**האינטגרל <math>\displaystyle{\int_0^1\frac{1}{x^\alpha}dx}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha<1</math>

**האינטגרל <math>\displaystyle{\int_1^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha>1</math>

*הערה: נניח <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס, האם <math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} f(x)= 0}</math>?

**בלי נתונים נוספים

**כאשר f רציפה

**כאשר f רציפה וחיובית

**כאשר נתון שלf יש גבול

===מבחני השוואה לאינטגרלים חיוביים===

===התכנסות בהחלט וקריטריון היינה===

*קריטריון היינה:

**אינטגרל לא אמיתי מקיים קריטריון היינה אם לכל שתי סדרות בקטע ~~השואפת~~ השואפות לנקודה הבעייתית מתקיים כי:

**<math>\int_{a_n}^{b_n} f(x)dx \to 0</math>

**<math>g</math> רציפה.

**ל<math>g</math> יש קדומה <math>G</math> חסומה.

*אזי האינטגרל <math>\displaystyle{\int_a^\infty f(x)g(x)}dx</math> מתכנס.

<videoflash>wU73--emtSg</videoflash>

==פרק 5 - סדרות וטורי פונקציות==

*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sEbSda0I3Onj1fskZnGNDa פלייליסט של סדרות וטורי פונקציות וטורי חזקות]

===פונקצית הגבול===

*דוגמא: סדרת פונקציות גזירות המתכנסת במ"ש לפונקצית גבול שאינה גזירה

**<math>f_n(x)=\sqrt{x^2 +\frac{1}{n}}\rightrightarrows |x|</math>

*סדרת פונקציות המתכנסת בנקודה, שנגזרותיה רציפות ומתכנסות במ"ש בA מקיימת בA:

**<math>f_n\to f</math> וגם <math>f'_n\to f'</math>

==פרק 6 - טורי טיילור וקירובים==

*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-u17p2r0CbYUF4mj9EUSfkR פלייליסט על פולינום טיילור, טור טיילור וקירובים]

===פולינום טיילור===

*הקדמה

***הטור מתבדר כאשר <math>|x-a|>R</math>.

***את שני הקצוות <math>x=a\pm R</math> צריך להציב, ולבחון את התכנסות טורי המספרים שנקבל באמצעות מבחני התכנסות.

**כאשר <math>0<R</math> אזי לכל <math>0<r<R</math> מתקיים כי הטור מתכנס '''במ"ש''' בתחום <math>[a-r,a+r]</math>

<videoflash>SjQGanyldmk</videoflash>

====פיתוח טורי טיילור====

*גזירה ואינטגרציה איבר איבר של טורי חזקות

*יהי טור חזקות בעל רדיוס התכנסות <math>R>0</math>

*<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n</math>

*אזי לכל x המקיים <math>|x-a|<R</math> מתקיים כי:

**<math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\cdot a_n(x-a)^{n-1}</math>

**<math>\int_a^xf=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}</math>

<videoflash>DARWl_gkXQ8</videoflash>

====טורי הטיילור של סינוס וקוסינוס, ~~ואקפוננט~~ ואקספוננט של מספר מרוכב ====

*<math>\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...</math>

*<math>\cos(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...</math>

*רציפות אם יש [[פונקצית האקספוננט|למידע נוסף על האקספוננט]] ====משפט אבל על התכנסות בקצההתחום==== *יהי טור <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n</math> עם רדיוס התכנסות <math>0<R<\infty</math>.*אם <math>f(a+R)</math> מתכנס אזי <math>\displaystyle{\lim_{x\to (a+R)^-}f(x)=f(a+R)}</math>*אם <math>f(a-R)</math> מתכנס אזי <math>\displaystyle{\lim_{x\to (a-R)^+}f(x)=f(a-R)}</math><videoflash>Yi6Q-e1hAWY</videoflash> ====קירובים והערכות שגיאה=========שיטות הערכות שגיאה - לגראנז', לייבניץ, חסימה על ידי טור הנדסי=====*יהי טור <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>**קירוב מסדר k לטור הוא <math>\sum_{n=0}^{k-1} a_n</math>, זהו סכום k האיברים הראשונים.**השגיאה עבור קירוב זה היא כמובן <math>R_k=\sum_{n=k}^\infty a_n</math> *אם מדובר בטור לייבניץ, השגיאה מקיימת <math>|R_k|\leq |a_k|</math> לפי מבחן לייבניץ להתכנסות טורים. *אם הטור חסום ע"י טור הנדסי אזי השגיאה מקיימת:**<math>|R_k|\leq \sum_{n=k}^\infty c\cdot q^n = c(\sum_{n=0}^\infty q^n - \sum_{n=0}^{k-1}q^n) = c(\frac{1}{1-q} - \frac{1-q^k}{1-q})=\frac{c\cdot q^k}{1-q} </math> *בסרטון נקרב את המספרים הבאים: **<math>ln(2)</math>**<math>\pi</math>**<math>e</math>**<math>\int_0^1 e^{-x^2}dx</math> <videoflash>7Zf4L75o_I8</videoflash> =====טור הטיילור של ההופכית של סינוס, וקירוב מהיר של π=====*נביט בפונקציה <math>f(x)=\sqrt{1+x}</math>*נוכיח באינדוקציה כי הנגזרת מסדר n הינה:*<math>f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)n!4^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}</math>**עבור n=1 אכן מתקיים כי <math>f'(x)=\frac{2}{4}(1+x)^{-\frac{1}{2}}</math>**יהי n עבורו הטענה נכונה, צ"ל כי <math>f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+2}(2n+2)!}{(2n+1)(n+1)!4^{n+1}}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>**צ"ל <math>f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n+1)n!(n+1)4^n\cdot 4}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!}{n!4^n\cdot 2}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math>**אכן בעזרת הנחת האינדוקציה <math>f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}\right)'(x)=\left(\frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)n!4^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}\right)'=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!}{n!4^n\cdot 2}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}}</math> *לכן טור המקלורן של <math>f(x)=\sqrt{1+x}</math> הינו <math>\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}x^n}</math>*על מנת להוכיח שהוא שווה לפונקציה, צ"ל שהשגיאה שואפת לאפס.*יהי <math>-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}</math>, נוכיח שהשגיאה עבורו שואפת לאפס.*<math>\left|R_{n-1}(f,0,x)\right| = \frac{(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}\frac{1}{(1+c)^{\frac{2n-1}{2}}}|x|^n\leq \frac{(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}\frac{1}{(1-|x|)^{\frac{2n-1}{2}}}|x|^n</math>*נחשב את גבול המנה של הביטוי שקיבלנו:**<math>\frac{(2n+2)!}{(2n+1)((n+1)!)^24^{n+1}}\frac{|x|^{n+1}}{(1-|x|)^{\frac{2n+1}{2}}}\cdot \frac{(2n-1)(n!)^24^n}{(2n)!}\frac{(1-|x|)^{\frac{2n-1}{2}}}{|x|^n}=</math>**<math>=\frac{(2n-1)(2n+2)}{4(n+1)^2}\frac{|x|}{1-|x|}\to \frac{|x|}{1-|x|} < \frac{|x|}{1-\frac{1}{2}}=2|x|<1</math>*לכן לפי מבחן המנה השגיאה שואפת לאפס בתחום זה, וטור המקלורן מתכנס לפונקציה בתחום זה. *הוכחנו שבתחום <math>\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)</math> מתקיים*<math>\sqrt{1+x} = \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}x^n} = 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8}-...</math>*נגזור ונקבל שבקטע מתקיים*<math>\frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!n}{(2n-1)(n!)^24^n}x^{n-1}</math>*נבצע הזזת אינדקסים <math>k=n-1</math> ונקבל*<math>\frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+2}(2k+2)!(k+1)}{(2k+1)((k+1)!)^24^{k+1}}x^k</math>*<math>\frac{(-1)^{k+2}(2k+2)!(k+1)}{(2k+1)((k+1)!)^24^{k+1}}=\frac{(-1)^{k}(2k)!(2k+1)(2k+2)(k+1)}{(2k+1)(k!)^2(k+1)^24^k\cdot 4}</math>*סה"כ בתחום זה נקבל*<math>\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n)!}{(n!)^24^n}x^n</math>*נציב <math>-x</math> ונקבל באותו תחום <math>\frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}x^n</math> *הערה - טורי הטיילור שפיתחנו כאן מתכנסים בעצם לפונקציות שלהן בתחום בין מינוס אחד לאחד, אך ההוכחה של זה מורכבת יותר ולא נחוצה לנו כרגע. *כעת נציב <math>x^2</math> ונקבל שבתחום <math>\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)</math> מתקיים*<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}x^{2n}</math>*נבצע אינטגרציה מ0 עד x ונקבל*<math>\arcsin(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^24^n}x^{2n+1}=x+\frac{x^3}{6}+...</math>*נציב <math>x=\frac{1}{2}</math> שנמצא בתחום ונקבל:*<math>\frac{\pi}{6}=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^24^n}\frac{1}{2^{2n+1}}</math>*ולכן :::<math>\pi =\sum_{n=0}^\infty \frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n}</math> *כעת המנה של הסדרה <math>a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}</math> היא **<math>\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^24^{n+1}}\cdot\frac{(n!)^24^n}{(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(2(n+1))^2}<1</math>*לכן מדובר בסדרה יורדת שכל איבריה קטנים או שווים ל<math>a_0=1</math>*לכן <math>\frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n} = \frac{(2n)!}{(n!)^24^n}\cdot\frac{3}{(2n+1)4^n}\leq \frac{3}{(2n+1)4^n}</math>*לכן בקירוב <math>\pi</math> ע"י k האיברים הראשונים נקבל שגיאה:**<math>|R_k|=\sum_{n=k}^\infty \frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n} \leq \sum_{n=k}^\infty \frac{3}{(2n+1)4^n}\leq</math> **<math>\leq\frac{3}{(2k+1)}\sum_{n=k}\frac{1}{4^n} = \frac{3}{(2k+1)}\frac{\frac{1}{4^k}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{(2k+1)4^{k-1}}</math> *למשל, קירוב של 6 האיברים הראשונים יספק שגיאה קטנה מ<math>10^{-4}</math> כלומר רמת דיוק של 4 ספרות אחרי הנקודה העשרונית, לפחות.*<math>\pi\approx 3+\frac{3\cdot 2!}{3\cdot (1!)^2 \cdot 16}+\frac{3\cdot 4!}{5\cdot (2!)^2 \cdot 16^2}+\frac{3\cdot 6!}{7\cdot (3!)^2 \cdot 16^3}+\frac{3\cdot 8!}{9\cdot (4!)^2 \cdot 16^4}+\frac{3\cdot 10!}{11\cdot (5!)^2 \cdot 16^5} </math>

*קירובים והערכות שגיאה.אהבתם חדו"א 2? אז תעופו על [[חדוא 1 - ארז שיינר|חדו"א 1]]!

ארז שיינר

ביורוקרט, מפעיל מערכת

10,574

עריכות

שינויים

חדוא 2 - ארז שיינר

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים