שינויים
/* טור הטיילור של ההופכית של סינוס, וקירוב מהיר של π */
*הוכחנו שבתחום <math>\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)</math> מתקיים
*<math>\sqrt{1+x} = \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}x^n} = 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8}-...</math>
*נגזור ונקבל שבקטע מתקיים
*<math>\frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!n}{(2n-1)(n!)^24^n}x^{n-1}</math>
*נבצע הזזת אינדקסים <math>k=n-1</math> ונקבל
*<math>\frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+2}(2k+2)!(k+1)}{(2k+1)((k+1)!)^24^{k+1}}x^k</math>
*<math>\frac{(-1)^{k+2}(2k+2)!(k+1)}{(2k+1)((k+1)!)^24^{k+1}}=\frac{(-1)^{k}(2k)!(2k+1)(2k+2)(k+1)}{(2k+1)(k!)^2(k+1)^24^k\cdot 4}</math>
*סה"כ בתחום זה נקבל
*<math>\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n)!}{(n!)^24^n}x^n</math>
*נציב <math>-x</math> ונקבל באותו תחום <math>\frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}x^n</math>
*כעת נציב <math>x^2</math> ונקבל שבתחום <math>\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)</math> מתקיים
*<math>-x</math> ונקבל באותו תחום <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}x^{2n}</math>
*נבצע אינטגרציה מ0 עד x ונקבל
*<math>\arcsin(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^24^n}x^{2n+1}</math>
*נציב <math>x=\frac{1}{2}</math> שנמצא בתחום ונקבל:
*<math>\frac{\pi}{6}=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^24^n}\frac{1}{2^{2n+1}}</math>
*ולכן
:::<math>\pi =\sum_{n=0}^\infty \frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n}</math>
*הערה - טורי הטיילור שפיתחנו כאן מתכנסים בעצם לפונקציות שלהן בתחום בין מינוס אחד לאחד, אך ההוכחה של זה מורכבת יותר ולא נחוצה לנו כרגע.
