חדוא 2 - ארז שיינר

88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2

תקציר ההרצאות

פרק 1 - האינטגרל הלא מסויים

• הגדרה: F נקראת פונקציה קדומה של f בקטע A אם לכל נקודה בקטע מתקיים כי $F'=f$

• האינטגרל הלא מסויים $\int f(x)dx$ מסמן פונקציה קדומה של f.

• תהי F קדומה של f, אזי קבוצת כל הקדומות של f שווה ל$\{F+c|c\in\mathbb{R}\}$

• אינטגרלים מיידיים ידועים לנו מנוסחאות הגזירה.

שיטות למציאת קדומה

• תהיינה f,g פונקציות בעלות קדומות, אזי:
  • $\int (cf) = c \int f$
  • $\int (f+g) = \int f + \int g$

אינטגרציה בחלקים

$\int f'g = fg - \int fg'$

פונקציה רציונאלית

• הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים

• פירוק לשברים חלקיים

• חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
  • נסמן $I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt$
  • אזי $I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n$

כאשר תנאי ההתחלה הוא $I_1=\arctan(t)$