הבדלים בין גרסאות בדף "חוג הפולינומים מעל שדה"

גרסה אחרונה מ־12:53, 20 ביולי 2013

הגדרה

יהי $F$ שדה. ביטוי פורמלי מהצורה $\sum_{i=0}^na_ix^i=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ כאשר $n\geq0$ ו- $a_1,\ldots,a_n\in F$ נקרא פולינום במשתנה $x$ מעל $F$ . האיברים $a_0,\ldots,a_n$ נקראים מקדמי הפולינום.

נניח כי $m\leq n$ אנו נאמר כי שני פולינומים $\sum_{i=0}^na_ix^i,\,\sum_{j=1}^mb_jx^j$ הם שקולים אם $a_i=b_i$ עבור $0\leq i\leq m$ ו- $a_i=0$ עבור $m<i\leq n$ . מעכשיו, כאשר נדבר על פולינום נתכוון בעצם למחלקת השקילות של כל הפולינומים השקולים לו. עדיף לא לחשוב על זה.

כל פולינום $f(x)$ שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שקול לפולינום יחיד $a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ עם $a_n\neq 0$ . המספר $n$ נקרא דרגת הפולינום ומסומן ב- $\deg f$ . מעלת פולינום ה-0 מוגדרת לעיתים להיות $-\infty$ .

הערה: כל פולינום $f(x)=a_0+a_1x_1\ldots+a_nx^n$ משרה פונקציה מ- $F$ לעצמו ששולחת את $u\in F$ ל- $f(u):=a_0+a_1u+\ldots+a_nu^n$ . אם השדה $F$ סופי, ייתכן כי שני פולינומים שונים ישרו אותה פונקציה.

אוסף הפולינומים מעל $F$ במשתנה $x$ יסומן ב- $F[x]$ . מגידירים על $F[x]$ חיבור וכפל על ידי הנוסחאות:

$\sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i=0}^nb_ix^n=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)x^n$ (אם דרגת הפולינומים שמחברים לא שווה החליפו אותם בפולינומים שקולים עם אותה דרגה.)
$\sum_{i=0}^na_ix^i\cdot\sum_{j=0}^mb_jx^j=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m,m+n=k}a_ib_j\right)x^k$

הפעולות האלה הופכות את $F[x]$ לחוג.

הערה: כל ההגדרות לעיל עובדות לכל חוג ולא רק לשדות.

תכונות

אם $F$ שדה, החוג $F[x]$ הוא תחום אוקלידי. פונקציית הדרגה תהייה דרגת הפולינום. כתוצאה מכך:

לכל שני פולינומים קיים מחלק משותף מקסימלי וניתן למצוא אותן ע"י האלגוריתם של אוקלידס.
$F[x]$ תחום ראשי, כלומר כל אידיאל נוצר ע"י איבר אחד. אם האידיאל אינו 0, האיבר הזה הוא בעל דרגה מינימלית באידיאל (אם מתעלמים מפולינום ה-0).
$F[x]$ הוא תחום פריקות יחידה (לכל פולינום יש פירוק יחיד לגורמים)
פולינום שונה מ-0 הוא אי-פריק אם ורק אם הוא ראשוני.
כל אידיאל ראשוני שונה מ-0 של $F[x]$ הוא מקסימלי. בפרט, אם $p(x)\neq 0$ הוא ראשוני (או אי פריק) אז $F[x]/p(x)F[x]$ הוא שדה.

@@ שורה 3: / שורה 3: @@
 יהי <math>F</math> שדה. ביטוי פורמלי מהצורה <math>\sum_{i=0}^na_ix^i=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n</math>  כאשר <math>n\geq0</math> ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in F</math> נקרא '''פולינום במשתנה <math>x</math> מעל <math>F</math>'''. האיברים <math>a_0,\ldots,a_n</math> נקראים '''מקדמי הפולינום'''.
-נניח כי <math>m\leq n</math> אנו נאמר כי שני פולינומים <math>\sum_{i=0}^na_ix^i,\,\sum_{j=1}^mb_jx^j</math> הם שקולים אם <math>a_i=b_i</math> עבור <math>0\leq i\leq m</math> ו-<math>a_i=0</math> עבור <math>m<i\leq n</math>. מעכשיו, כאשר נדבר על פולינום נתכוון בעם למחלקת השקילות של כל הפולינומים השקולים לו. עדיף לא לחשוב על זה.
+נניח כי <math>m\leq n</math> אנו נאמר כי שני פולינומים <math>\sum_{i=0}^na_ix^i,\,\sum_{j=1}^mb_jx^j</math> הם שקולים אם <math>a_i=b_i</math> עבור <math>0\leq i\leq m</math> ו-<math>a_i=0</math> עבור <math>m<i\leq n</math>. מעכשיו, כאשר נדבר על פולינום נתכוון בעצם למחלקת השקילות של כל הפולינומים השקולים לו. עדיף לא לחשוב על זה.
 כל פולינום <math>f(x)</math> שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שקול לפולינום יחיד <math>a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n</math> עם <math>a_n\neq 0</math>. המספר <math>n</math> נקרא '''דרגת הפולינום''' ומסומן ב-<math>\deg f</math>. מעלת פולינום ה-0 מוגדרת לעיתים להיות <math>-\infty</math>.
@@ שורה 12: / שורה 12: @@
 '''אוסף הפולינומים מעל <math>F</math> במשתנה <math>x</math>''' יסומן ב-<math>F[x]</math>.
 מגידירים על <math>F[x]</math> חיבור וכפל על ידי הנוסחאות:
-* <math>\sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i=1}^nb_ix^n=\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)x^n</math> (אם דרגת הפולינומים שמחברים לא שווה החליפו אותם בפולינומים שקולים עם אותה דרגה.)
+* <math>\sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i=0}^nb_ix^n=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)x^n</math> (אם דרגת הפולינומים שמחברים לא שווה החליפו אותם בפולינומים שקולים עם אותה דרגה.)
 * <math>\sum_{i=0}^na_ix^i\cdot\sum_{j=0}^mb_jx^j=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m,m+n=k}a_ib_j\right)x^k</math>
 הפעולות האלה הופכות את <math>F[x]</math> לחוג.
 '''הערה:''' כל ההגדרות לעיל עובדות לכל חוג ולא רק לשדות.
 == תכונות ==

הבדלים בין גרסאות בדף "חוג הפולינומים מעל שדה"

גרסה אחרונה מ־12:53, 20 ביולי 2013

הגדרה

תכונות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים