חוג הפולינומים מעל שדה

הגדרה

יהי $F$ שדה. ביטוי פורמלי מהצורה $\sum_{i=0}^na_ix^i=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ כאשר $n\geq0$ ו-$a_1,\ldots,a_n\in F$ נקרא פולינום במשתנה $x$ מעל $F$. האיברים $a_0,\ldots,a_n$ נקראים מקדמי הפולינום.

נניח כי $m\leq n$ אנו נתייחס אל שני פולינומים $\sum_{i=0}^na_ix^i,\,\sum_{j=1}^mb_jx^j$ כאל שווים אם $a_i=b_i$ עבור $0\leq i\leq m$ ו-$a_i=0$ עבור $m<i\leq n$.

כל פולינום $f(x)$ שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שווה לפולינום $a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ עם $a_n\neq 0$. המספר $n$ נקרא דרגת הפולינום ומסומן ב-$\deg f$. מעלת פולינום ה-0 לעיתים מוגדרת להיות $-\infty$.

הערה: כל פולינום $f(x)=a_0+a_1x_1\ldots+a_nx^n$ משרה פונקציה מ-$F$ לעצמו ששולחת את $u\in F$ ל-$f(u):=a_0+a_1u+\ldots+a_nu^n$. אם השדה $F$ סופי, ייתכן כי שני פולינומים שונים ישרו אותה פונקציה.

אוסף הפולינומים מעל $F$ במשתנה $x$ יסומן ב-$F[x]$. מגידירים על $F[x]$ חיבור וכפל על ידי הנוסחאות:

• $\sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i=1}^nb_ix^n=\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)x^n$.
• $\sum_{i=0}^na_ix^i\cdot\sum_{j=0}^mb_jx^j=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m,m+n=k}a_ib_j\right)x^k$