שינויים
[[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]]
== תרגילים ==
===דוגמא מספר 1 - f(x)=x^{2}-6x+5 ===
תחום הגדרה
הגדרה: <math>תהא f(x)</math>
פונקציה. תחום ההגדרה של <math>f(x)</math>
היא A- אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת
דוגמא: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\mathbb{R}</math>
====זוגיות/אי זוגיות====
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא '''זוגית''' אם <math>f(x)=f(-x)</math>
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא אי זוגית אם <math>f(x)=-f(-x)</math>
דוגמא: <math>f(-x)=x^{2}+6x+5\not=\,\pm\, f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math>
אינה זוגית ואינה אי זוגית
====חיתוך עם הצירים====
החיתוך עם ציר x הן הנקודות <math>(1,0).(5.0)</math>
החיתוך עם ציר y היא הנקודה <math>(0,5)</math>
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
הגדרה: תהא <math>f(x)</math>פונקציה. נאמר ש <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math>
אם <math>\forall x<y\in U:\, f(x)\leq f(y)</math>
(<math>\forall x<y\in U:\, f(x)\geq f(y)</math>)
הגדרה: תהא <math>f(x)</math>
פונקציה. <math>x_{0}</math>
תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה <math>U</math>
כך ש <math>\forall x\in U:f(x)\leq f(x_{0})</math>
(או <math>\forall x\in U:f(x)\geq f(x_{0})</math> )
משפט: אם <math>f(x)</math>
גזירה בנקודת קיצון <math>x_{0}</math>
אזי <math>f'(x_{0})=0</math>
מסקנה: בשביל למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math>
מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math>
או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל <math>f(x)</math>:
<math>f'(x)=2x-6</math> ולכן הנקודה החשודה היחידה היא <math>x_{0}=3</math>
====מקס' או מיני'====
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
*בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב <math>f(0)=5\,,f(3)=-4,f(6)=5</math>
ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
*בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (
מסתמך על העובדה כי : אם <math>f'(x)\leq0</math> בקטע I
אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\geq0</math> אז הפונקציה עולה שם):
<math>f'(0)<0\,,f'(4)>0</math>
ולכן משמאל ל 3
הפונקציה יורדת ומימין ל 3
היא עולה ולכן 3
נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f</math>
הוא <math>[3.\infty)</math>
ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math>
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
*מבחן הנגזרת השניה- אם <math>f'(x_{0})=0</math>
ומתקיים <math>f"(x_{0})>0</math>
(או <math>f"(x)<0</math> )
אז <math>x_{0}</math> נקודות מיני' (או מקס'):
אצלנו <math>f"(x)=2</math> ולכן <math>f"(2)>0</math>
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
תהא <math>f(x)</math> גזירה בנקודה <math>x_{0}</math>
אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב <math>x_{0}</math>
אם קיימת סביבה <math>U</math>של <math>x_{0}</math>
כך שלכל <math>x\in U</math> מתקיים:
<math>f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>
(<math>f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>)
נאמר ש <math>x_{0}</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math>
ימנית בה <math>f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>
וסביבה שמאלית <math>V</math>
בה <math>f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>
או להיפך.
משפט: <math>f"(x_{0})>0</math>
<math>(f"(x_{0})<0)</math>
אז <math>f(x)</math>
קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-<math>x_{0}</math>
.
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"(x)</math>
אינה קיימת או ש <math>f"(x)=0</math>
דוגמא: f"(x)=2
ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
אסימטוטות
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x)
היא קו מהצורה x=a
כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty
.
אצלנו אין אסימטוטה אנכית.
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b
המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0
או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0
איך מוצאים ? מתקיים
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}
ואז
b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)
דוגמא- אצלנו:
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\infty
ולכן אין אסימטוטה אופקית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty
ציור הפונקציה
דוגמא 2: f(x)=\frac{\ln(x)}{x}
תחום הגדרה
x>0
כי \ln(x)
לא מוגדרת עבור x
-ים שליליים.
זוגיות/אי זוגיות
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר x
הוא (1,0)
החיתוך עם ציר y
לא קיים בגלל תחום ההגדרה
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}}
ולכן יש לה נקודה חשודה ב x=e
.
הסימן של f"
נקבע ע"י -x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x))
,f(e)<0
ולכן זוהי נקודת מקס'
תחומי העלייה של הפונקציה \left(0,e\right)
תחומי ירידה \left(e,\infty\right)
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
הסימן של f"
נקבע ע"י -x(3-2\ln(x))
ולכן נקודות חשודות לפיתול הם e^{3/2}
f"(e)<0,f"(e^{4})>0
ולכן e^{3/2}\approx10
נקודת פיתול
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב \left(0,e^{3/2}\right)
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב \left(e^{3/2},\infty\right)
אסימטוטות
אסימטוטה אנכית ב x=0
כיוון ש \lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty
אסימטוטה אופקית:
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0
b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0
ולכן l(x)=0
אסימטוטה אופקית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}f(x)=0
ציור הפונקציה
דוגמא 3: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
תחום הגדרה
תחום ההגדרה של הוא x\not=\pm\sqrt{12}
זוגיות/אי זוגיות
f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x)
ולכן f(x)
אי זוגית
נקודות קיצון
f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}
ולכן הנקודות החשודות הן x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12}
)נשים לב שהנקודות \pm\sqrt{12}=\pm3.464
אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה(.
מקס' או מיני'
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
.1 בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב f(-7)=9.27,f(-6)=9,f(-4)=16,f(-1)=-0.09,f(0)=0,f(1)=0.09,f(4)=-16,f(6)=-9,f(7)=-9.27
ולכן 0
אינה נקודת קיצון, -6
נקודת מיני ו 6
נקודות מקס'הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
.2 בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות )מסתמך על העובדה כי : אם f'(x)\leq0
בקטע I
אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0
אז הפונצקיה עולה שם(: נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של 36-x^{2}
f'(-7)<0,f'(-6)=0,f'(-4)>0,f'(-1)>0,f'(0)=0,f'(1)>0,f'(4)>-,f'(6)=0,f'(7)<0
ולכן מימין ל -6
הפונקציה יורדת ומימין ל -6
היא עולה ולכן -6
נקודות מיני' וכו'
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
.3 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0
ומתקיים f"(x_{0})>0
)או f"(x)<0
( אז x_{0}
נקודות מיני' )או מקס'(: הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x
הוא (72x-4x^{3})(12-x^{2})^{2}+4x(12-x^{2})x^{2}(36-x^{2}) = x(12-x^{2})[(72-4x^{2})(12-x^{2})+4x^{2}(36-x^{2})]
= x(12-x^{2})[72\cdot12+24x^{2}]
= 24x(12-x^{2})[36+x^{2}]
f"(6)<0,f"(-6)>0
f"(0)=0
ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת!
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
אזי f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}
ו f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}}
הנקודות החשודות לפיתלול הם 0,\pm\sqrt{12}
הסימן של f"(x)
נקבע לפי החלק x(12-x^{2})
נבדוק f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0
. ומכאן מסיקים כי
בקטע (-\infty,-\sqrt{12})
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע (-\sqrt{12},0)
הפונצקיה קעורה כלפי מטה
בקטע (0,\sqrt{12})
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע (\sqrt{12},\infty)
הפונצקיה קעורה כלפי מטה
ובנקודה 0
יש נקודות פיתול )כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה(
אסימטוטות
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x)
היא קו מהצורה x=a
כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty
.
דוגמא f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
יש 2 אסימטוטות אנכיות ב x=\pm\sqrt{12}
כי lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(x)=-\infty
lim_{x\to-\sqrt{12}^{-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{-}}f(x)=\infty
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b
המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0
או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0
מתקיים a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}
ואז b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)
דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
נמצא אסימטוטות:
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1
b=lim_{x\to\infty}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)=lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0
באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון x\to-\infty
תצא אותו דבר.
ולכן l(x)=-x
אסימטוטה אנכית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty
ציור הפונקציה
משפטים לסיכום
.1 אם f(x)
גזירה בנקודת קיצון x_{0}
אזי f'(x_{0})=0
.2 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0
ומתקיים f"(x_{0})>0
)או f"(x)<0
( אז x_{0}
נקודות מיני' )או מקס'(
.3 אם f'(x)\leq0
בקטע I
אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0
אז הפונקציה עולה שם
.4 אם f"(x_{0})>0
)f"(x_{0})<0
( אז f(x)
קעורה כלפי מעלה )כלפי מטה( ב-x_{0}
.מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם f"(x)
אינה קיימת או ש f"(x)=0
