שינויים

===דוגמא מספר 1 - <math>f(x)=x^{2}-6x+5 </math> ===

ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.

====אסימטוטות  הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x) היא קו מהצורה x=a כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty .==

הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר <math>l(x)=ax+b</math> המקיים <math>lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0</math> או <math>lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0</math>

<math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} ואז</math>

ואז<math>b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)</math>

<math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\inftyinft</math>y ולכן אין אסימטוטה אופקית

====התנהגות הפונצקיה באינסוף====

עבור הדוגמא שלנו <math>lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty</math>

===דוגמא 2: <math>f(x)=\frac{\ln(x)}{x}</math>===

====תחום הגדרה====

<math>x>0 </math>כי <math>\ln(x)</math> לא מוגדרת עבור <math>x </math>-ים שליליים.

====זוגיות/אי זוגיות====

====חיתוך עם הצירים====

החיתוך עם ציר <math>x</math> הוא <math>(1,0)</math>

החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה

====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====

<math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}}</math> ולכן לכן יש לה נקודה חשודה ב <math>x=e</math>

הסימן של <math>f" </math> נקבע ע"י <math>-x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x))</math>

,f(e)<0 ולכן זוהי נקודת מקס' תחומי העלייה של הפונקציה <math>\left(0,e\right)</math>

תחומי ירידה <math>\left(e,\infty\right)</math>

====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====

הסימן של <math>f"</math> נקבע ע"י <math>-x(3-2\ln(x))</math> ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e^{3/2}</math>

<math>f"(e)<0,f"(e^{4})>0</math> ולכן <math>e^{3/2}\approx10</math> נקודת פיתול

הפונקציה קעורה כלפי מטה ב <math>\left(0,e^{3/2}\right)</math>

הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב <math>\left(e^{3/2},\infty\right)</math>

====אסימטוטות ====

אסימטוטה אנכית ב <math>x=0</math> כיוון ש <math>\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty</math>

<math>b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0</math>

ולכן <math>l(x)=0</math> אסימטוטה אופקית

====התנהגות הפונצקיה באינסוף====

עבור הדוגמא שלנו <math>lim_{x\to\infty}f(x)=0</math>

===דוגמא 3: <math>f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}</math>===

====תחום הגדרה====

תחום ההגדרה של הוא <math>x\not=\pm\sqrt{12}</math>

====זוגיות/אי זוגיות====

<math>f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x)</math> ולכן <math>f(x) </math> אי זוגית

===נקודות קיצון===

<math>f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}</math> ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12}</math> )(נשים לב שהנקודות <math>\pm\sqrt{12}=\pm3.464</math>) אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה(.

=====מקס' או מיני'=====

.1 בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב <math>f"(-7)=9.27,f(-6)=9,f(-4)=16,f(-1)=-0.09,f(0)=0,f(1)=0.09,f(4)=-16,f(6)=-9,f(7)=-9.27 ולכן 0 אינה נקודת קיצון, -6 נקודת מיני ו 6 נקודות מקס'הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם. .2 בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות )מסתמך על העובדה כי : אם f'(x)\leq0 בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0 אז הפונצקיה עולה שם(: נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של 36-x^{2} f'(-7)<0,f'"(-6)=0,f'(-4)>0,f'(-1)>0,f'(0)=0,f'(1)>0,f'(4)>-,f'(6)=0,f'(7)<0 ולכן מימין ל -6 הפונקציה יורדת ומימין ל -6 היא עולה ולכן -6 נקודות מיני' וכו' הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם. .3 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0 ומתקיים f"(x_{0})/math>0 )או f"(x)<0 ( אז x_{0} נקודות מיני' )או מקס'(: הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x הוא (72x-4x^{3})(12-x^{2})^{2}+4x(12-x^{2})x^{2}(36-x^{2}) = x(12-x^{2})[(72-4x^{2})(12-x^{2})+4x^{2}(36-x^{2})] = x(12-x^{2})[72\cdot12+24x^{2}] = 24x(12-x^{2})[36+x^{2}] f"(6)<0,f"(-6)math>0 f"(0)=0</math>