שינויים
/* תרגילים */
וסביבה שמאלית <math>V</math>
בה <math>f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>
משפט: <math>f"(x_{0})>0</math>
אז <math>f(x)</math>
קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-<math>x_{0}</math>
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"(x)</math>
אינה קיימת או ש <math>f"(x)=0</math>
דוגמא: <math>f"(x)=2</math>
ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
דוגמא- אצלנו:
<math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\inftinfty</math>y
ולכן אין אסימטוטה אופקית
=====מקס' או מיני'=====
0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין ל-0 וגם משמאל ====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול==== דוגמא: <math>f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}</math>אזי <math>f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}</math>
הנקודות החשודות לפיתלול הם <math>0,\pm\sqrt{12}</math> הסימן של <math>f"(x)</math> נקבע לפי החלק <math>x(12-x^{2})</math>
נבדוק <math>f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0</math> . ומכאן מסיקים כי
בקטע <math>(-\infty,-\sqrt{12})</math> הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע <math>(-\sqrt{12},0)</math> הפונצקיה קעורה כלפי מטה
בקטע <math>(0,\sqrt{12})</math> הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע <math>(\sqrt{12},\infty)</math> הפונצקיה קעורה כלפי מטה
ובנקודה 0
====אסימטוטות ====
כי <math>lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(x)=-\infty
</math>
באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון <math>x\to-\infty</math>
תצא אותו דבר.
====ציור הפונקציה====
[[קובץ:Examp3e2CStirgul2.gif]]
משפטים לסיכום
<math>.1 </math> אם <math>f(x) </math> גזירה בנקודת קיצון x_{0} אזי <math>f'(x_{0})=0</math>
<math>.2 </math> מבחן הנגזרת השניה- אם <math>f'(x_{0})=0 </math> ומתקיים <math>f"(x_{0})>0 )או f"(x)<0/math> ( אז <math>x_{0}</math> נקודות מיני' )או מקס'(
<math>.3 </math> אם <math>f'(x)\leq0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\geq0</math> אז הפונקציה עולה שם
<math>.4 </math> אם <math>f"(x_{0})>0 )f"(x_{0})<0/math> ( אז <math>f(x) </math> קעורה כלפי מעלה )כלפי מטה( ב-<math>x_{0}</math> .מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"(x) </math> אינה קיימת או ש <math>f"(x)=0</math>