[[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]]
== תרגילים =====דוגמא מספר 1 - : <math>f(x)=x^{2}-6x+5 </math>=== ====תחום הגדרה====הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה. תחום הגדרתה היא <math>A</math> - אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת.
דוגמא: תחום הגדרהההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\R</math> .
====זוגיות/אי-זוגיות====הגדרה: <math>תהא f(x)</math>פונקציה. תחום ההגדרה של תקרא '''זוגית''' אם <math>f(-x)</math>היא A- אוסף כל הנקודות בהם <math>=f(x)</math> מוגדרת.
דוגמאהגדרה: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר תקרא אי-זוגית אם <math>\mathbb{R}f(-x)=-f(x)</math> ====זוגיות/אי זוגיות====.
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא '''זוגית''' אם <math>f(x)=f(-x)</math>הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא אי זוגית אם <math>f(x)=-f(-x)</math> דוגמא: <math>f(-x)=x^{2}+6x+5\not=\,\pm\, f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math>אינה זוגית ואינה אי -זוגית.
====חיתוך עם הצירים====
החיתוך עם ציר <math>x </math> הן הנקודות <math>(1,0).\ ,\ (5.,0)</math>
החיתוך עם ציר <math>y </math> היא הנקודה <math>(0,5)</math>.
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
הגדרה: תהא <math>f(x)</math> פונקציה. נאמר כי <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math> אם
<math>\forall x<y\in U:\ f(x)\le f(y)</math> או <math>\forall x<y\in U:\ f(x)\ge f(y)</math> .
הגדרה: תהא תהי <math>f(x)</math>פונקציה. נאמר ש <math>f(x)x_0</math> עולה תקרא נקודת קיצון - מקס' (יורדתאו מינ') בתחום <math>U</math>אם קיימת לה סביבה <math>\forall x<y\in U:\, f(x)\leq f(y)</math>(<math>\forall x<y\in U:\, f(x)\geq f(y)</math>)כך ש-
הגדרה: תהא <math>f(x)</math>פונקציה. <math>x_{0}</math>תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה <math>U</math>כך ש <math>\forall x\in U:f(x)\leq le f(x_{0}x_0)</math>(או <math>\forall x\in U:f(x)\geq ge f(x_{0}x_0)</math> ).
משפט: אם <math>f(x)</math>גזירה בנקודת קיצון <math>x_{0}x_0</math>אזי <math>f'(x_{0}x_0)=0</math>.
מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math> מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math> או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
מסקנה: בשביל למצוא נקודות דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון של ל- <math>f(x)</math>מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math>או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.:
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל <math>f(x)</math>: <math>f'(x)=2x-6</math> ולכן הנקודה החשודה היחידה היא <math>x_{0}x_0=3</math>.
====מקס' או מיני'====
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
*בדיקת הפונצקיה הפונקציה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב <math>f(0)=5\,,\ f(3)=-4\ ,\ f(6)=5</math>ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם. *בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי : אם <math>f'(x)\leq0</math> בקטע Iאזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\geq0</math> אז הפונקציה עולה שם): <math>f'(0)<0\,,f'(4)>0</math>ולכן משמאל ל 3הפונקציה יורדת ומימין ל 3היא עולה ולכן 3נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f</math>הוא <math>[3.\infty)</math>ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math>
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' נקודות אלו - כי אם הנגזרת הפונקציה היתה מחליפה איפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' נקודת קיצון ואז היינו והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
*מבחן בדיקת ערכי הנגזרת השניה- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם <math>f'(x_{0}x)=0\le0</math>ומתקיים בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f"'(x_{0}x)>0\ge0</math>(או אז הפונקציה עולה שם): <math>f"'(x0)<0\ ,\ f'(4)>0</math> )אז ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר <math>x_{0}x=3</math> נקודות נקודת מיני' (או מקס'):.
אצלנו הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f"(x)=2</math> ולכן הוא <math>f"(2[3,\infty)</math>0ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math>.
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
*מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)====תחומי קעירות0</קמירות ונקודות פיתול====math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> (או <math>f''(x)<0</math>) אז <math>x_0</math> נקודות מיני' (או מקס'):
תהא אצלנו <math>f''(x)=2</math> גזירה בנקודה ולכן <math>x_{0}</math>אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה f''(כלפי מטה2) ב <math>x_{0}</math>אם קיימת סביבה <math>U</math>של <math>x_{0}</math>כך שלכל <math>x\in U</math> מתקיים:.
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====תהא <math>f(x)\geq f'(x_{0})(x</math> גזירה בנקודה <math>x_0</math> אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב-x_{0})+f(x_{0})<math>x_0</math> אם קיימת סביבה <math>U</math> של <math>x_0</math> כך שלכל <math>x\in U</math>מתקיים:
(<math>f(x)\leq ge f'(x_{0}x_0)(x-x_{0}x_0)+f(x_{0}x_0)</math>או <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> .
נאמר כי <math>x_0</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math> ימנית בה <math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> וסביבה שמאלית <math>V</math> בה <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או להפך.
נאמר ש משפט: <math>x_{f''(x_0)>0}</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה או <math>Uf''(x_0)<0</math>ימנית בה אז <math>f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>וסביבה שמאלית <math>V<קעורה כלפי מעלה/math>בה מטה ב- <math>f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})x_0</math> או להיפך.
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"''(x_{0}x)>0</math><math>(f"(x_{0})<0)</math>אז אינה קיימת או ש- <math>f''(x)</math>קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-<math>x_{=0}</math> .
משפטדוגמא: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"(x)</math>אינה קיימת או ש <math>f"''(x)=02</math> ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
דוגמא====אסימפטוטות====הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- <math>f"(x)</math> היא קו מהצורה <math>x=2 ולכן a</math> כך שמתקיים <math>\lim\limits_{x\to a}|f(x)|=\infty</math> . אצלנו אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישראסימפטוטה אנכית.
אסימטוטות הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר <math>l(x)=ax+b</math> המקיים <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> או <math>\lim\limits_{x\to-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> .
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל איך מוצאים? מתקיים <math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x) היא קו מהצורה }{x}</math> ואז <math>b=a כך שמתקיים lim_\lim\limits_{x\to a\infty}|\big[f(x)|=-ax\infty big]</math> .
דוגמא - אצלנו אין אסימטוטה אנכית.:
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)<math>\displaystyle a=ax+b המקיים \lim_{x\to\infty}|\frac{f(x)-l(}{x)|}=0 או \lim_{x\to-\infty}|f(\frac{x)^2-l(6x+5}{x)|}=0 \infty</math>
איך מוצאים ? מתקייםולכן אין אסימפטוטה אופקית.
a=lim_===התנהגות הפונקציה באינסוף====עבור הדוגמא שלנו <math>\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} ואז=\infty</math>
b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax) ציור הפונקציה [[קובץ:Example1CStirgul2.gif]]
דוגמא- אצלנו: a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\infty ולכן אין אסימטוטה אופקית התנהגות הפונצקיה באינסוף עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty ציור הפונקציה דוגמא 2: <math>f(x)=\fracdfrac{\ln(x)}{x}</math>=== ====תחום הגדרה==== <math>x>0 </math> כי <math>\ln(x) </math> לא -מוגדרת עבור <math>x </math>-ים שליליים. זוגיות/אי זוגיות
====זוגיות/אי-זוגיות====
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
====חיתוך עם הצירים====החיתוך עם ציר <math>x</math> הוא <math>(1,0)</math> .
החיתוך עם ציר x הוא (1,0) <math>y</math> לא קיים בגלל תחום ההגדרה.
החיתוך עם ציר y====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה==== לא קיים בגלל תחום ההגדרה<math>f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}</math> לכן יש לה נקודה חשודה ב- <math>x=e</math>
נקודות קיצון ותחומי עליההסימן של <math>f''</ירידהmath> נקבע ע"י <math>-x-2x\big(1-\ln(x)\big)=-x\big(3-2\ln(x)\big)</math> .
<math>f'(xe)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}} <0</math> ולכן יש לה נקודה חשודה ב x=e זוהי נקודת מקס'.
הסימן תחומי העליה של f" נקבע ע"י -x-2xהפונקציה <math>(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x)0,e) </math> .
,fתחומי הירידה <math>(e,\infty)<0 ולכן זוהי נקודת מקס'/math> .
====תחומי העלייה קעירות/קמירות ונקודות פיתול====הסימן של הפונקציה <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x\leftbig(0,e3-2\rightln(x) \big)</math> ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e\sqrt{e}</math> .
תחומי ירידה \left<math>f''(e)<0\ ,\infty\rightf''(e^4) >0</math> ולכן <math>e\sqrt{e}\approx 10</math> נקודת פיתול.
תחומי קעירותהפונקציה קעורה כלפי מטה ב- <math>(0,e\sqrt{e})</קמירות ונקודות פיתולmath> .
הסימן של f" נקבע ע"י הפונקציה קעורה כלפי מעלה ב-x<math>(3-2e\ln(xsqrt{e},\infty)) ולכן נקודות חשודות לפיתול הם e^{3</2} math> .
f"(e)====אסימפטוטות====אסימפטוטה אנכית ב- <0,f"(e^{4})math>x=0 ולכן e^{3</2math> כיון ש- <math>\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\approx10 נקודת פיתולinfty</math> .
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב \left(0,e^{3/2}\right) אסימפטוטה אופקית:
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב <math>\leftbegin{align}\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(e^x)}{3/x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2},=\lim_{x\to\infty}\rightfrac{\frac1x}{2x}=0\\b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x) -ax\big]=\lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0\end{align}</math>
אסימטוטות ולכן <math>l(x)=0</math> אסימטוטה אופקית.
אסימטוטה אנכית ב x=0===התנהגות הפונקציה באינסוף==== כיוון ש עבור הדוגמא שלנו <math>\lim_lim\limits_{x\to0^{+}to\infty}f(x)=-\infty 0</math>
אסימטוטה אופקיתציור הפונקציה [[קובץ: Example2CStirgul2.gif]]
a=lim_{x\to\infty}\frac{==דוגמא 3: <math>f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\fracdfrac{\ln(x)^3}{12-x^{2}}</math>====lim_{===תחום הגדרה====<math>x\tone\infty}pm2\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0 sqrt3</math>
b=lim_{x\to\infty}(===זוגיות/אי-זוגיות====<math>f(-x)-ax)=lim_{x\to}\fracdfrac{\ln(-x)^3}{12-x^2}=0 -f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math> אי-זוגית.
ולכן l===נקודות קיצון===<math>f'(x)=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}}</math> ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_0=0 אסימטוטה אופקית,\pm6,\pm2\sqrt3</math>
התנהגות הפונצקיה באינסוף(נשים לב שהנקודות <math>\pm2\sqrt3</math> אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).
עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}f(x)=0====מקס' או מיני'===== נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של <math>36-x^2</math> :
ציור הפונקציה<math>\begin{align}f'(-7)<0\\f'(-6)=0\\f'(-4)>0\\f'(-1)>0\\f'(0)=0\\f'(4)>0\\f'(6)=0\\f'(7)<0\end{align}</math>
ולכן משמאל ל-'''6-''' הפונקציה יורדת ומימין ל-'''6-''' היא עולה, כלומר '''6-''' נקודות מיני'.
6 נקודת מקס'.
דוגמא 3: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} 0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.
תחום הגדרה====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====דוגמא:
תחום ההגדרה של הוא <math>\begin{align}f(x)&=\notdfrac{x^3}{12-x^2}\\f'(x)&=\pmdfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\sqrtdfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}\\f''(x)&=\dfrac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}\end{align} </math>
זוגיותהנקודות החשודות לפיתול הן <math>0,\pm2\sqrt3</אי זוגיותmath> . הסימן של <math>f''(x)</math> נקבע לפי החלק <math>x(12-x^2)</math> .
f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x) ולכן f(x) אי זוגיתנבדוק:
נקודות קיצון<math>\begin{align}f''(-4)>0\\f''(-1)<0\\f(0)=0\\f(1)>0\\f(4)<0\end{align}</math>
f'(x)=\frac{3x^{2}(12ומכאן מסיקים כי -x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}} ולכן הנקודות החשודות הן x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12} )נשים לב שהנקודות \pm\sqrt{12}=\pm3.464 אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה(.
מקס' או מיני'בקטע <math>(-\infty,-2\sqrt3)</math> הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?בקטע <math>(-2\sqrt3,0)</math> הפונקציה קעורה כלפי מטה,
.1 בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב fבקטע <math>(-7)=9.27,f(-6)=9,f(-4)=16,f(-1)=-0.09,f(02\sqrt3)=0</math> הפונקציה קעורה כלפי מעלה,f(1)=0.09,f(4)=-16,f(6)=-9,f(7)=-9.27 ולכן 0 אינה נקודת קיצון, -6 נקודת מיני ו 6 נקודות מקס'הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
.2 בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות )מסתמך על העובדה כי : אם f'(x)\leq0 בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0 אז הפונצקיה עולה שם(: נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של 36-x^{2} f'(-7)<0,f'(-6)=0,f'(-4)math>0,f'(-1)>02\sqrt3,f'(0)=0,f'(1\infty)</math>0הפונקציה קעורה כלפי מטה,f'(4)>-,f'(6)=0,f'(7)<0 ולכן מימין ל -6 הפונקציה יורדת ומימין ל -6 היא עולה ולכן -6 נקודות מיני' וכו'
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודםהשניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).
.3 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0===אסימפטוטות==== ומתקיים f"(x_{0})ל- <math>0 )או f"(x)<0 ( אז x_=\frac{0} נקודות מיני' )או מקס'(: הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x הוא (72x-4x^{3})(12-x^{2})^{2}+4x(12-x^{2})x^{</math> יש 2}(36אסימפטוטות אנכיות ב-<math>x^{2}) = x(12-x^{2})[(72-4x^{2})(12-x^{2})+4x^{2}(36-x^{2})] = x(12-x^{2})[72\cdot12+24x^{2}] = 24x(12-x^{2})[36+x^{2}] f"(6)pm2\sqrt3<0,f"(-6)/math>0 f"(0)=0 ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת!
תחומי קעירותכי <math>\lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^+}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^+}f(x)=-\infty</קמירות ונקודות פיתולmath>
דוגמא: f(x)=<math>\fraclim\limits_{x^\to{3}}{12-x^{2\sqrt3}^-} אזי f'(x)=\fraclim\limits_{3x^{2}(12-x^\to{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2sqrt3}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}} ו f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}} infty</math>
הנקודות החשודות לפיתלול הם 0,\pm\sqrt{12} הסימן של f"(x) נקבע לפי החלק x(12-x^{2}) אסימפטוטה אופקית:
נבדוק f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)math>0,f(4)<0 . ומכאן מסיקים כי בקטע (-\infty,-displaystyle\sqrtbegin{12align}) הפונצקיה קעורה כלפי מעלה בקטע (-\sqrt{12},0) הפונצקיה קעורה כלפי מטה בקטע (0,\sqrt{12}) הפונצקיה קעורה כלפי מעלה בקטע (\sqrt{12},\infty) הפונצקיה קעורה כלפי מטה ובנקודה 0 יש נקודות פיתול )כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה( אסימטוטות הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x) היא קו מהצורה x=a כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty . דוגמא f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} יש 2 אסימטוטות אנכיות ב x=\pm\sqrt{12} כי lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(x)=-\infty lim_{x\to-\sqrt{12}^{-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{-}}f(x)=\infty הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0 או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0 מתקיים a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} ואז b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax) דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} נמצא אסימטוטות: a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1 \\b=\lim_{x\to\infty}(\left[\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)\right]=\lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0\end{align}</math>
באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון <math>x\to-\infty</math> תצא אותו דבר
באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון ולכן <math>l(x\to)=-\infty תצא אותו דברx</math> אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.
ולכן l(====התנהגות הפונקציה באינסוף====עבור הדוגמא שלנו <math>\displaystyle\lim_{x)\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\ ,\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x אסימטוטה אנכית^3}{12-x^2}=-\infty</math>
התנהגות הפונצקיה באינסוף====ציור הפונקציה====[[קובץ:Examp3e2CStirgul2.gif]]
עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty משפטים לסיכום:
ציור הפונקציה'''1)''' אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון <math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=0</math> .
'''2)''' מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)=0</math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>x_0</math> נקודת מיני'.
'''3)''' אם <math>f'(x)\le0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge0</math> אזי הפונקציה עולה שם.
משפטים לסיכום .1 אם f(x'''4) גזירה בנקודת קיצון x_{0} אזי f'(x_{0})=0 .2 מבחן הנגזרת השניה- '' אם <math>f''(x_{0}x_0)=>0 ומתקיים f"(x_{0})</math> אזי <math>0 )או f"(x)<0 ( אז x_{0} נקודות מיני' )או מקס'( /math> קעורה כלפי מעלה ב- <math>x_0</math> .3 אם f'(x)\leq0 בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0 אז הפונקציה עולה שם
.4 אם f"(x_{0})>0 )f"(x_{0})<0 ( אז f(x) קעורה כלפי מעלה )כלפי מטה( ב-x_{0} .מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"''(x) </math> אינה קיימת או ש - <math>f"''(x)=0</math> .
