שינויים
== תרגילים ==
===דוגמא מספר 1 - <math>f(x)=x^{2}-6x+5</math> ===
תחום הגדרה
הגדרה: תהא <math>תהא f(x)</math>פונקציה. תחום ההגדרה של <math>f(x)</math>היא A- אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת.
דוגמא: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\mathbb{R}</math> ====זוגיות/אי זוגיות====.
====זוגיות/אי-זוגיות====הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא '''זוגית''' אם <math>f(x)=f(-x)</math>הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא אי זוגית אם <math>f(x)=-f(-x)</math> .
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא אי-זוגית אם <math>f(-x)=-f(x)</math> . דוגמא: <math>f(-x)=x^{2}+6x+5\not=\,\pm\, f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math>אינה זוגית ואינה אי -זוגית.
====חיתוך עם הצירים====
החיתוך עם ציר <math>x </math> הן הנקודות <math>(1,0).\ ,\ (5.,0)</math>
החיתוך עם ציר <math>y </math> היא הנקודה <math>(0,5)</math>.
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
הגדרה: תהא <math>f(x)</math> פונקציה. נאמר ש- <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math> אם
<math>\forall x<y\in U:\ f(x)\le f(y)</math> או <math>\forall x<y\in U:\ f(x)\ge f(y)</math> .
הגדרה: תהא <math>f(x)</math>פונקציה. נאמר ש <math>f(x)x_0</math> עולה תקרא נקודת קיצון- מקס' (יורדתאו מינ') בתחום <math>U</math>אם קיימת לה סביבה <math>\forall x<y\in U:\, f(x)\leq f(y)</math>(<math>\forall x<y\in U:\, f(x)\geq f(y)</math>)כך ש-
משפט: אם <math>f(x)</math>גזירה בנקודת קיצון <math>x_{0}x_0</math>אזי <math>f'(x_{0}x_0)=0</math>.
מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math> מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math> או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
====מקס' או מיני'====
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
*בדיקת הפונצקיה הפונקציה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב <math>f(0)=5\,,\ f(3)=-4\ ,\ f(6)=5</math>ולכן 3 נקודת נקודות מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
*מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)====תחומי קעירות0</קמירות ונקודות פיתול====math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> (או <math>f''(x)<0</math>) אז <math>x_0</math> נקודות מיני' (או מקס'):
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====תהא <math>f(x)\geq f'(x_{0})(x</math> גזירה בנקודה <math>x_0</math> אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב-x_{0})+f(x_{0})<math>x_0</math> אם קיימת סביבה <math>U</math> של <math>x_0</math> כך שלכל <math>x\in U</math>מתקיים:
נאמר ש- <math>x_0</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math> ימנית בה <math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> וסביבה שמאלית <math>V</math> בה <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או להפך.
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"''(x_{0}x)>0</math><math>(f"(x_{0})<0)</math>אז אינה קיימת או ש- <math>f''(x)</math>קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-<math>x_{=0}</math>.
====אסימטוטות אסימפטוטות====הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- <math>f(x)</math> היא קו מהצורה <math>x=a</math> כך שמתקיים <math>\lim\limits_{x\to a}|f(x)|=\infty</math> . אצלנו אין אסימפטוטה אנכית.
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל אסימפטוטה אופקית היא ישר <math>fl(x)=ax+b</math>היא קו מהצורה המקיים <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=a0</math>כך שמתקיים או <math>lim_\lim\limits_{x\to a-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=\infty0</math>אצלנו אין אסימטוטה אנכית.
<math>a=lim_\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty</math>
====התנהגות הפונקציה באינסוף====
עבור הדוגמא שלנו <math>\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty</math>
ציור הפונקציה [[קובץ:Example1CStirgul2.gif]]
===דוגמא 2: <math>f(x)=\frac{\ln(x)}{x}</math>===
====תחום הגדרה====
<math>x>0</math> כי <math>\ln(x)</math> לא-מוגדרת עבור <math>x</math>-ים שליליים.
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
====חיתוך עם הצירים====
החיתוך עם ציר <math>x</math> הוא <math>(1,0)</math> .
החיתוך עם ציר <math>xy</math>הוא <math>(1,0)</math> החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה.
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
<math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}</math> לכן יש לה נקודה חשודה ב- <math>x=e</math>
הסימן של <math>f'('</math> נקבע ע"י <math>-x)=-2x\frac{Big(1-\ln(x)}{\Big)=-x^{\Big(3-2}}</math>לכן יש לה נקודה חשודה ב <math>\ln(x=e)\Big)</math>.
תחומי העלייה העליה של הפונקציה <math>\left(0,e\right)</math> .
תחומי ירידה הירידה <math>\left(e,\infty\right)</math> .
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x\Big(3-2\ln(x)\Big)</math> ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e\sqrt{e}</math> .
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב- <math>f"(e)<0,f"(e^\sqrt{4e})>0</math>ולכן <math>e^{3/2}\approx10</math>נקודת פיתול.
הפונקציה קעורה כלפי מטה מעלה ב - <math>\left(0,e^\sqrt{3/2e},\rightinfty)</math> .
אסימפטוטה אופקית: <math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac1{x}}{2x}=אסימטוטות ====0</math> .
====התנהגות הפונקציה באינסוף====עבור הדוגמא שלנו <math>b=lim_\lim\limits_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0</math>
===דוגמא 3: <math>f(x)=התנהגות הפונצקיה באינסוף\frac{x^3}{12-x^2}</math>=======תחום הגדרה====תחום ההגדרה שלה הוא <math>x\not=\pm2\sqrt3</math> .
=====מקס' או מיני'=====
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של <math>36-x^2</math> :
<math>f'(-6)====תחום הגדרה====0</math>
<math>f'(-x0)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x)</math>ולכן <math>f(x)0</math> אי זוגית
<math>f'(x6)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}</math>ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12}</math>(נשים לב שהנקודות <math>\pm\sqrt{12}=\pm3.464</math>)אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה.
<math>6 </math> נקודת מקס'.
<math>0 </math> אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין ל-0 לה וגם משמאל.
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
דוגמא: <math>f(x)=\frac{x^3}{12-x^2}</math> אזי <math>f'(x)=\frac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\frac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}</math> ו- <math>f''(x)=\frac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}</math> .
בקטע <math>(-\sqrt{12}infty,-2\inftysqrt3)</math>הפונצקיה הפונקציה קעורה כלפי מטהמעלה,
ובנקודה <math>lim_{x\to-\sqrt{12}^{-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{-}}f(x)=\infty0</math> יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).
כי <math>a=lim_\lim\limits_{x\to{-2\inftysqrt3}^+}\frac{f(x)}{x}=lim_\lim\limits_{x\to{2\inftysqrt3}\frac{x^{3+}}{xf(12-x^{2})}=-1\infty</math>
<math>b=lim_\lim\limits_{x\to{-2\inftysqrt3}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+f(x)=lim_\lim\limits_{x\to{2\inftysqrt3}^-}f(\frac{12x}{12-x^{2}})=0</math> באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון <math>x\to-\infty</math>תצא אותו דבר.
<math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^3}{x(12-x^2)}==התנהגות הפונצקיה באינסוף====-1</math>
ולכן <math>l(x)====ציור הפונקציה====-x</math> אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.
====התנהגות הפונקציה באינסוף====
עבור הדוגמא שלנו <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\,,\,\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=-\infty</math>
====ציור הפונקציה====
[[קובץ:Examp3e2CStirgul2.gif]]
משפטים לסיכום:
<math>.1</math> אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון x_{0} <math>x_0</math> אזי <math>f'(x_{0}x_0)=0</math>. <math>.2</math> מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)=0</math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>x_0</math> נקודת מיני'.
<math>.23</math> מבחן הנגזרת השניה- אם <math>f'(x_{0}x)=\le 0</math> ומתקיים בקטע <math>f"(x_{0})>0I</math>אז אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>x_{f'(x)\ge 0}</math>נקודות מיני' אזי הפונקציה עולה שם.
<math>.34</math> אם <math>f''(xx_0)\leq0>0</math>בקטע אזי <math>If(x)</math>אזי הפונקציה יורדת שם. אם קעורה כלפי מעלה ב- <math>f'(x)\geq0x_0</math>אז הפונקציה עולה שם.
