שינויים

== תרגילים =====דוגמא מספר 1 - : <math>f(x)=x^{2}-6x+5</math>=======תחום הגדרה====הגדרה: תהא תהי <math>f(x)</math> פונקציה. תחום ההגדרה של הגדרתה היא <math>f(x)A</math> היא A - אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת.

הגדרה: תהא <math>f(x)</math> פונקציה. נאמר ש- כי <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math> אם

הגדרה: תהא תהי <math>f(x)</math> פונקציה. <math>x_0</math> תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה <math>U</math> כך ש-

דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- <math>f(x)</math>:

*בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם <math>f'(x)\le 0le0</math> בקטע <math>I </math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge 0ge0</math> אז הפונקציה עולה שם): <math>f'(0)<0\ ,\ f'(4)>0</math> ולכן משמאל ל- <math>3</math> הפונקציה יורדת ומימין ל- <math>3</math> היא עולה, כלומר <math>x=3</math> נקודת מיני'.

נאמר ש- כי <math>x_0</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math> ימנית בה <math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> וסביבה שמאלית <math>V</math> בה <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או להפך.

איך מוצאים? מתקיים <math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\fracdfrac{f(x)}{x}</math> ואז <math>b=\lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]</math> .

<math>\displaystyle a=\lim\limits_lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_lim_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty</math>

===דוגמא 2: <math>f(x)=\fracdfrac{\ln(x)}{x}</math>===

<math>f'(x)=\fracdfrac{1-\ln(x)}{x^2}</math> לכן יש לה נקודה חשודה ב- <math>x=e</math>

הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x-2x\Bigbig(1-\ln(x)\Bigbig)=-x\Bigbig(3-2\ln(x)\Bigbig)</math> .

הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x\Bigbig(3-2\ln(x)\Bigbig)</math> ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e\sqrt{e}</math> .

אסימפטוטה אנכית ב- <math>x=0</math> כיון ש- <math>\lim\limits_{x\to 0to0^+}f(x)=-\infty</math> .

אסימפטוטה אופקית: <math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac1{x}}{2x}=0</math> .

<math>b\begin{align}\displaystyle a=\limlim_{x\limits_to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1x}{2x}=0\\b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-ax)\big]=\lim\limits_lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0\end{align}</math>

===דוגמא 3: <math>f(x)=\fracdfrac{x^3}{12-x^2}</math>===

תחום ההגדרה שלה הוא <math>x\not=ne\pm2\sqrt3</math> .

<math>f(-x)=\fracdfrac{-x^3}{12-x^2}=-f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math> אי-זוגית.

<math>f'(x)=\fracdfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\fracdfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}}</math> ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_0=0,\pm6,\pm2\sqrt3</math>

<math>\begin{align}f'(-7)<0\\f'(-6)=0\\f'(-4)>0\\f'(-1)>0\\f'(0)=0\\f'(4)>0\\f'(6)=0\\f'(7)<0\end{align}</math>

<math>fולכן משמאל ל-'(''6-''' הפונקציה יורדת ומימין ל-'''6)=0</math>-''' היא עולה, כלומר '''6-''' נקודות מיני'.

<math>f6 נקודת מקס'(-4)>0</math>.

<math>f'(-1)>0</math>אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.

<math>f'(0)=0<===תחומי קעירות/math>קמירות ונקודות פיתול====דוגמא:

<math>f'(4)>0</math> <math>f'(6)=0</math> <math>f'(7)<0</math> ולכן מימין ל- <math>-6</math> הפונקציה יורדת ומימין ל- <math>-6</math> היא עולה, כלומר <math>-6</math> נקודות מיני'. <math>6</math> נקודת מקס'. <math>0</math> אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל. ====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====דוגמא: <math>\begin{align}f(x)&=\fracdfrac{x^3}{12-x^2}</math> אזי <math>\\f'(x)&=\fracdfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\fracdfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}</math> ו- <math>\\f''(x)&=\fracdfrac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}\end{align}</math> .

נבדוק:<br><math>f''(-4)>0</math>

<math>\begin{align}f''(-4)>0\\f''(-1)<0</math> <math>\\f(0)=0</math> <math>\\f(1)>0</math> <math>\\f(4)<0\end{align}</math>

ובנקודה <math>0</math> יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).

<math>\displaystyle\begin{align}a=\lim\limits_lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x(12-x^2)}=-1</math> <math>\\b=\lim\limits_lim_{x\to\infty}\Bigleft[\frac{x^3}{12-x^2}+x\Bigright]=\lim\limits_lim_{x\to\infty}\frac{12x}{12-x^2}=0\end{align}</math>

עבור הדוגמא שלנו <math>\limdisplaystyle\limits_lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\,,\,\lim\limits_lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=-\infty</math>

<math>.'''1</math> )''' אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון <math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=0</math> .

<math>.'''2</math> )''' מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)=0</math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>x_0</math> נקודת מיני'.

<math>.'''3</math> )''' אם <math>f'(x)\le 0le0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge 0ge0</math> אזי הפונקציה עולה שם.

<math>.'''4</math> )''' אם <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה ב- <math>x_0</math> .