הבדלים בין גרסאות בדף "חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג"

גרסה מ־17:00, 8 ביולי 2013

$\int\frac{1}{e^x+e^{-x}}\mathrm{d}x$

נציב $t=e^x$ ואז $\mathrm{d}t=e^x\mathrm{d}x=t\mathrm{d}x$

לאחר הצבה נקבל

$\int\frac{1}{e^x+e^{-x}}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{t+\frac{1}{t}}\frac{1}{t}\mathrm{d}t$

$=\int\frac{1}{t^2+1}=\arctan t+c=\arctan e^x+c$

$\int\frac{x^3+1}{x^3-1}$

על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש

$\frac{x^3+1}{x^3-1}=1+\frac{2}{x^3-1}$

אז נתמקד בחישוב $\int\frac{2}{x^3-1}=\int\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}$

לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש

$\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$

$=\frac{Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C}{(x-1)(x^2+x+1)}$

כלומר קיבלנו מערכת משוואות

$A+B=0, \quad A-B+C=0,\quad A-C=2$

וקל לראות שהפתרון שלה הוא:

$A=\frac{2}{3},\quad B=-\frac{2}{3},\quad C= -\frac{4}{3}$

@@ שורה 22: / שורה 22: @@
 אז נתמקד בחישוב <math>\int\frac{2}{x^3-1}=\int\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}</math>
+לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש
+<math>\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}</math>
+<math>=\frac{Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C}{(x-1)(x^2+x+1)}</math>
+כלומר קיבלנו מערכת משוואות
+<math>A+B=0, \quad A-B+C=0,\quad A-C=2</math>
+וקל לראות שהפתרון שלה הוא:
+<math>A=\frac{2}{3},\quad B=-\frac{2}{3},\quad C= -\frac{4}{3}</math>