הבדלים בין גרסאות בדף "חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג"

גרסה מ־17:35, 8 ביולי 2013

שאלה 2

סעיף א

$\int\frac{1}{e^x+e^{-x}}\mathrm{d}x$

נציב $t=e^x$ ואז $\mathrm{d}t=e^x\mathrm{d}x=t\mathrm{d}x$

לאחר הצבה נקבל

$\int\frac{1}{e^x+e^{-x}}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{t+\frac{1}{t}}\frac{1}{t}\mathrm{d}t$

$=\int\frac{1}{t^2+1}=\arctan t+c=\arctan e^x+c$

סעיף ב

$\int\frac{x^3+1}{x^3-1}\mathrm{d}x$

על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש

$\frac{x^3+1}{x^3-1}=1+\frac{2}{x^3-1}$

אז נתמקד בחישוב $\int\frac{2}{x^3-1}\mathrm{d}x=\int\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}\mathrm{d}x$

לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש

$\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$

$=\frac{Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C}{(x-1)(x^2+x+1)}$

כלומר קיבלנו מערכת משוואות

$A+B=0, \quad A-B+C=0,\quad A-C=2$

וקל לראות שהפתרון שלה הוא:

$A=\frac{2}{3},\quad B=-\frac{2}{3},\quad C= -\frac{4}{3}$

ברור ש

$\int\frac{\frac{2}{3}}{x-1}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\ln|x-1|+c$

נותר לחשב את $-\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x$

לפי השלמה לריבוע

$\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=\int\frac{x+2}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}x$

נבצע הצבה $t=x+\frac{1}{2}$ (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם

$\int\frac{t+\frac{3}{4}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int\frac{2t+\frac{3}{2}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t$

$=\frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t+\int\frac{\frac{3}{4}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t$

$=\frac{1}{2}\ln|t^2+\frac{3}{4}|+\frac{3}{4}\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\arctan\frac{t}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c$

$=\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c$

ולכן $-\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c$

אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא

$x+\frac{2}{3}\ln|x-1|-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c$

@@ שורה 54: / שורה 54: @@
 <math>=\frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t+\int\frac{\frac{3}{4}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t</math>
-<math>=\frac{1}{2}\ln(t^2+\frac{3}{4})+\frac{3}{4}\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\arctan\frac{t}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c</math>
+<math>=\frac{1}{2}\ln|t^2+\frac{3}{4}|+\frac{3}{4}\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\arctan\frac{t}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c</math>
 <math>=\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג"

גרסה מ־17:35, 8 ביולי 2013

שאלה 2

סעיף א

סעיף ב

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים