הבדלים בין גרסאות בדף "חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג"
מתוך Math-Wiki
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 74: | שורה 74: | ||
עוד פונקציה שמפריכה היא <math>f_n(x)=\frac{D(x)}{n}</math> כאשר <math>D(x)</math> היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת, <math>D(x)=\begin{Bmatrix}\ 1 ,\ \ x \in \mathbb{Q}\\ 0,\ \ \ \ \mathrm{else} \end{Bmatrix} </math> | עוד פונקציה שמפריכה היא <math>f_n(x)=\frac{D(x)}{n}</math> כאשר <math>D(x)</math> היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת, <math>D(x)=\begin{Bmatrix}\ 1 ,\ \ x \in \mathbb{Q}\\ 0,\ \ \ \ \mathrm{else} \end{Bmatrix} </math> | ||
+ | |||
+ | =שאלה 6= | ||
+ | |||
+ | נזכור כי הנוסחה לחישוב אורך עקומה של <math>f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx</math> ולכן אנחנו מחפשים את <math>\int_0^{\frac{\pi}6}\sqrt{1+((\ln\cos(x))')^2}dx</math>. | ||
+ | |||
+ | מתקיים: <math>\frac{d}{dx}\ln\cos(x) = \frac{-\sin(x)}{cos(x)}=-\tan(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | כמו כן, <math>1+(-\tan(x))^2=1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac1{\cos^2(x)}</math>. | ||
+ | |||
+ | נראה כי <math>\forall x \in [0,\frac{\pi}6] :\cos(x)>0</math> ולכן <math>\sqrt{\frac{1}{\cos^2(x)}}=\frac1{\cos(x)}</math> ולא צריך לדאוג לגבי הסימן המכנה. | ||
+ | |||
+ | נרצה לחשב כעת את <math>\int_0^{\frac{\pi}6} \frac{1}{\cos(x)} dx</math> |
גרסה מ־18:06, 9 ביולי 2013
תוכן עניינים
שאלה 2
סעיף א
נציב ואז
לאחר הצבה נקבל
סעיף ב
על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש
אז נתמקד בחישוב
לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש
כלומר קיבלנו מערכת משוואות
וקל לראות שהפתרון שלה הוא:
ברור ש
נותר לחשב את
לפי השלמה לריבוע
נבצע הצבה (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם
ולכן
אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא
ואם מסדרים את זה יוצא
שאלה 4
הפרכה: ניקח את . נראה כי וההתכנסות היא במ"ש (קל להוכיח).
עוד פונקציה שמפריכה היא כאשר היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת,
שאלה 6
נזכור כי הנוסחה לחישוב אורך עקומה של בקטע היא ולכן אנחנו מחפשים את .
מתקיים: .
כמו כן, .
נראה כי ולכן ולא צריך לדאוג לגבי הסימן המכנה.
נרצה לחשב כעת את