<math>x+\frac{2}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{3}\ln|x^2+x+1|-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+c</math>
==שאלה 3==
===סעיף א===
צריך לבדוק אם <math>\int_1^\infty \sin\sqrt{x}dx</math> מתכנס או מתבדר.
<math>\lim_{b\to\infty} \int_1^\infty \sin\sqrt x dx = \lim_{b\to\infty} (2\sin\sqrt b - 2\sqrt{b}\cos\sqrt{b})-(2\sin1-2\cos1)</math> וזה כמובן לא מתכנס ולכן האינטגרל מתבדר
===סעיף ב=== צריך לבדוק אם <math>\int_1^\infty \sin{x^{1.5}}dx</math> מתכנס או מתבדר. הצעה לפתרון: ניעזר בהצבה <math>u=x^{1.5}</math>, לכן <math>du=1.5\cdot x^{0.5} dx=1.5\sqrt[3]{u}dx</math>, כלומר <math>dx=\frac{2\cdot du}{3\cdot\sqrt[3]{u}}</math>. במקרה זה <math>u</math> בתחום <math>[1,\infty]</math> גם כן. לכן: <math>\int_1^\infty \sin{x^{1.5}}dx=\frac{2}{3}\int_1^\infty \frac{\sin{u}}{\sqrt[3]{u}}du</math>, והאינטגרל שהתקבל מתכנס על פי דיריכלה. ==שאלה 4==
'''הפרכה:''' ניקח את <math>f_n(x)=\begin{Bmatrix} \frac 1n ,\ \ x=0\\ 0,\ \ \ \ \mathrm{else} \end{Bmatrix}</math>. נראה כי <math>f(x)\equiv 0</math> וההתכנסות היא במ"ש (קל להוכיח).
עוד פונקציה שמפריכה היא <math>f_n(x)=\frac{D(x)}{n}</math> כאשר <math>D(x)</math> היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת, <math>D(x)=\begin{Bmatrix}\ 1 ,\ \ x \in \mathbb{Q}\\ 0,\ \ \ \ \mathrm{else} \end{Bmatrix} </math>
==שאלה 6==
נזכור כי הנוסחה לחישוב אורך עקומה של <math>f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx</math> ולכן אנחנו מחפשים את <math>\int_0^{\frac{\pi}6}\sqrt{1+((\ln\cos(x))')^2}dx</math>.