חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג

שאלה 2

סעיף א

$\int\frac{1}{e^x+e^{-x}}\mathrm{d}x$

נציב $t=e^x$ ואז $\mathrm{d}t=e^x\mathrm{d}x=t\mathrm{d}x$

לאחר הצבה נקבל

$\int\frac{1}{e^x+e^{-x}}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{t+\frac{1}{t}}\frac{1}{t}\mathrm{d}t$

$=\int\frac{1}{t^2+1}=\arctan t+c=\arctan e^x+c$

סעיף ב

$\int\frac{x^3+1}{x^3-1}$

על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש

$\frac{x^3+1}{x^3-1}=1+\frac{2}{x^3-1}$

אז נתמקד בחישוב $\int\frac{2}{x^3-1}=\int\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}$