ברור ש
<math>\int\frac{\frac{2}{3}}{x-1}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\ln(x-1)+Cc</math>
נותר לחשב את <math>\int-\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x</math>
לפי השלמה לריבוע
<math>\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=\int\frac{x+2}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}x</math>
נבצע הצבה <math>t=x+\frac{1}{2}</math> (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם
<math>\int\frac{t+\frac{3}{4}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int\frac{2t+\frac{3}{2}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t</math>
<math>=\frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t+\int\frac{\frac{3}{4}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t</math>
<math>=\frac{1}{2}\ln(t^2+\frac{3}{4})+\frac{3}{4}\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\arctan\frac{t}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c</math>
<math>=\frac{1}{2}\ln((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})+\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c</math>
ולכן <math>-\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})+\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c</math>
אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא
<math>x+\frac{2}{3}\ln(x-1)-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})+\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c</math>