הבדלים בין גרסאות בדף "חתכי דדקינד"
מתוך Math-Wiki
(←הקדמה) |
|||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | + | =הקדמה= | |
*אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה <math>x^2=2</math> (שורש שתיים). | *אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה <math>x^2=2</math> (שורש שתיים). | ||
| שורה 25: | שורה 25: | ||
*הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את '''חתכי דדקינד'''. | *הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את '''חתכי דדקינד'''. | ||
| − | + | =חתכי דדקינד= | |
*'''הגדרה''': חתך דדקינד הוא קבוצה <math>A\subseteq\mathbb{Q}</math> המקיימת: | *'''הגדרה''': חתך דדקינד הוא קבוצה <math>A\subseteq\mathbb{Q}</math> המקיימת: | ||
| שורה 42: | שורה 42: | ||
*עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר ב[[שדה]]. | *עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר ב[[שדה]]. | ||
*כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר. | *כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר. | ||
| + | |||
| + | ==פעולות בין חתכי דדקינד== | ||
| + | |||
| + | ===חיבור=== | ||
| + | |||
| + | *יהיו שתי חתכים <math>A,B</math>, נגדיר את החיבור: | ||
| + | **<math>A+B=\left\{a+b|a\in A,b\in B\right\}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | *החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו: | ||
| + | **כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה. | ||
| + | **סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B. | ||
| + | **יהי <math>a+b\in A+B</math>, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים <math>a<c\in A</math> וכן <math>b<d\in B</math> ולכן <math>a+b<c+d\in A+B</math> ו<math>a+b</math> אינו חסם מלעיל של <math>A+B</math> | ||
| + | **יהי <math>m\in\mathbb{Q}</math> שאינו חסם מלעיל של <math>A+B</math>, לכן קיימים <math>m<a+b\in A+B</math>. כעת <math>m-a<b</math> כלומר <math>m-a</math> אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ <math>m=a+(m-a)\in A+B</math>. | ||
גרסה מ־17:54, 4 בספטמבר 2020
תוכן עניינים
הקדמה
- אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה
(שורש שתיים).
- הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה
לראשית הצירים 
?
- האם ייתכן שהפרבולה
עולה מהנקודה 
אל הנקודה 
בלי לחתוך את ציר האיקס?
- כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.
- כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?
(נבנה באמצעות גאוגברה.)
- ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
- כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה
, זו הקרן באיור.
- הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.
חתכי דדקינד
- הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה
המקיימת:
חסומה מלעיל.- לכל
מתקיים כי 
אם ורק אם 
חסם מלעיל של
- הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.
- הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
- כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
- עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
- כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.
פעולות בין חתכי דדקינד
חיבור
- יהיו שתי חתכים
, נגדיר את החיבור:
- החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
- כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
- סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
- יהי
, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים 
וכן 
ולכן 
ו
אינו חסם מלעיל של 
- יהי שאינו חסם מלעיל של , לכן קיימים
. כעת 
כלומר 
אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ 
.
