הבדלים בין גרסאות בדף "טור מתכנס בהחלט"

גרסה אחרונה מ־10:12, 8 בפברואר 2016

טור המתכנס בהחלט - מתכנס

יהי טור $\sum a_n$ המתכנס בהחלט. נסמן:

p_n=\frac{|a_n|+a_n}{2}

q_n=\frac{|a_n|-a_n}{2}

קל לראות כי:

p_n+q_n=|a_n|

p_n-q_n=a_n

0\leq p_n,q_n

כיון שהטור $\sum |a_n|$ מתכנס לפי הנתון, וכיון ש- $p_n,q_n\le |a_n|$ ,

לפי מבחן ההשוואה הטורים החיוביים $\sum p_n,\sum q_n$ מתכנסים.

הפרש טורים מתכנסים הוא מתכנס, ולכן גם $\sum p_n-q_n=\sum a_n$ מתכנס.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ==משפט==
 טור המתכנס בהחלט - מתכנס
@@ שורה 6: / שורה 5: @@
 יהי טור <math>\sum a_n</math> המתכנס בהחלט. נסמן:
-::<math>p_n=\frac{|a_n|+a_n}{2}</math>
+:<math>p_n=\frac{|a_n|+a_n}{2}</math>
-::<math>q_n=\frac{|a_n|-a_n}{2}</math>
+:<math>q_n=\frac{|a_n|-a_n}{2}</math>
 קל לראות כי:
-::<math>p_n+q_n=|a_n|</math>
+:<math>p_n+q_n=|a_n|</math>
-::<math>p_n-q_n=a_n</math>
+:<math>p_n-q_n=a_n</math>
-::<math>0\leq p_n,q_n</math>
+:<math>0\leq p_n,q_n</math>
-כיוון שהטור <math>\sum |a_n|</math> מתכנס לפי הנתון, וכיוון ש <math>p_n,q_n\leq |a_n|</math>,
+כיון שהטור <math>\sum |a_n|</math> מתכנס לפי הנתון, וכיון ש- <math>p_n,q_n\le |a_n|</math> ,
-לפי מבחן ההשוואה הטורים החיוביים <math>\sum p_n, \sum q_n</math> מתכנסים.
+לפי מבחן ההשוואה הטורים החיוביים <math>\sum p_n,\sum q_n</math> מתכנסים.