טור מתכנס בהחלט

משפט

טור המתכנס בהחלט - מתכנס

הוכחה

יהי טור $\sum a_n$ המתכנס בהחלט. נסמן:

$p_n=\frac{|a_n|+a_n}{2}$

$q_n=\frac{|a_n|-a_n}{2}$

קל לראות כי:

$p_n+q_n=|a_n|$

$p_n-q_n=a_n$

$0\leq p_n,q_n$

כיוון שהטור $\sum |a_n|$ מתכנס לפי הנתון, וכיוון ש $p_n,q_n\leq |a_n|$,

לפי מבחן ההשוואה הטורים החיוביים $\sum p_n, \sum q_n$ מתכנסים.

הפרש טורים מתכנסים הוא מתכנס, ולכן גם $\sum p_n-q_n=\sum a_n$ מתכנס.