הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"

גרסה מ־13:58, 5 בפברואר 2012

משפט: נניח כי $lim_{x\to a^+}f(x)=lim_{x\to a^+}g(x)=0$ ונניח עוד כי $f,g$ גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים $lim_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$ אז מתקיים $lim_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L$

הוכחה: נוכל לבנות $\tilde{f},\tilde{g}$ רציפות שמקיימות $\tilde{f}=\begin{cases} f\left(x\right) & x\neq a\\ 0 & x=a \end{cases} \tilde{g}=\begin{cases} g\left(x\right) & x\neq a\\ 0 & x=a \end{cases}$ הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור $a<c(x)<x$ שמקיימת $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}$ ולכן נקבל $\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)}$ כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש $a<c(x)<x$ וממשפט הסנדויץ

@@ שורה 12: / שורה 12: @@
 & x=a
 \end{cases} </math>
-הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g  מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math>  שמוגדרת בסביבה הימנית   שמקיימת <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))} </math>
+הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g  מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> שמקיימת <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))} </math>
 ולכן נקבל <math>\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)} </math>
 כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדויץ

הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"

גרסה מ־13:58, 5 בפברואר 2012

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים