הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"

גרסה מ־01:05, 15 בפברואר 2012

משפט: נניח כי $lim_{x\to a^+}f(x)=lim_{x\to a^+}g(x)=0$ ונניח עוד כי $f,g$ גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים $lim_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$ אז מתקיים $lim_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L$

הוכחה: נוכל לבנות $\tilde{f},\tilde{g}$ רציפות שמקיימות $\tilde{f}=\begin{cases} f\left(x\right) & x\neq a\\ 0 & x=a \end{cases} \tilde{g}=\begin{cases} g\left(x\right) & x\neq a\\ 0 & x=a \end{cases}$ הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור $a<c(x)<x$ שמקיימת $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}$ ולכן נקבל $\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)}$ כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש $a<c(x)<x$ וממשפט הסנדויץ

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]
-----
 '''משפט:''' נניח כי <math>lim_{x\to a^+}f(x)=lim_{x\to a^+}g(x)=0</math> ונניח עוד כי <math>f,g</math> גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים <math>lim_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L</math> אז מתקיים <math>lim_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>
@@ שורה 15: / שורה 11: @@
 ולכן נקבל <math>\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)} </math>
 כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדויץ
+[[קטגוריה:אינפי]]

הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"

גרסה מ־01:05, 15 בפברואר 2012

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים