הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"
מתוך Math-Wiki
(←שימוש בכלל לופיטל) |
(←שימוש בכלל לופיטל) |
||
שורה 35: | שורה 35: | ||
:<math>\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0</math> | :<math>\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0</math> | ||
− | ==דוגמא 2== | + | ===דוגמא 2=== |
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x}</math>. | חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x}</math>. | ||
שורה 42: | שורה 42: | ||
:<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1</math> | :<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1</math> | ||
− | ==דוגמא 3== | + | ===דוגמא 3=== |
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}</math>. | חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}</math>. | ||
גרסה מ־17:20, 22 בפברואר 2014
תוכן עניינים
משפט לופיטל
נניח כי ונניח עוד כי גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים אז מתקיים
הוכחה
נוכל לבנות רציפות שמקיימות הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור שמקיימת ולכן נקבל כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש וממשפט הסנדויץ
שימוש בכלל לופיטל
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה או כך ש
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.
מקרה ראשון או
נניח או
אזי אם הגבול קיים, הוא שווה לגבול
דוגמא 1
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 2
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 3
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל