הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(שימוש בכלל לופיטל)
(שימוש בכלל לופיטל)
שורה 35: שורה 35:
 
:<math>\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0</math>
 
:<math>\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0</math>
  
==דוגמא 2==
+
===דוגמא 2===
 
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x}</math>.
 
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x}</math>.
  
שורה 42: שורה 42:
  
 
:<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1</math>
 
:<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1</math>
==דוגמא 3==
+
===דוגמא 3===
 
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}</math>.
 
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}</math>.
  

גרסה מ־17:20, 22 בפברואר 2014

משפט לופיטל

נניח כי \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^+}g(x)=0 ונניח עוד כי f,g גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים \lim_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L אז מתקיים \lim_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L

הוכחה

נוכל לבנות \tilde{f},\tilde{g} רציפות שמקיימות  \tilde{f}=\begin{cases}
f\left(x\right) & x\neq a\\
0 & x=a
\end{cases}  \tilde{g}=\begin{cases}
g\left(x\right) & x\neq a\\
0 & x=a
\end{cases} הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור a<c(x)<x שמקיימת \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))} ולכן נקבל \lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)} כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש a<c(x)<x וממשפט הסנדויץ

שימוש בכלל לופיטל

תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה x_0\in\mathbb{R} או x_0=\pm\infty כך ש

\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L
\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=M

נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.

מקרה ראשון \frac{0}{0} או \frac{\infty}{\infty}

נניח M=L=0 או M=L=\pm\infty

אזי אם הגבול \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'}{g'} קיים, הוא שווה לגבול \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f}{g}

דוגמא 1

חשבו את הגבול \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x}.

זהו מקרה של \frac{\infty}{\infty}. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל

\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0

דוגמא 2

חשבו את הגבול \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x}.


זהו מקרה של \frac{0}{0}. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1

דוגמא 3

חשבו את הגבול \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}.

זהו מקרה של \frac{0}{0}. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל

\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{-sin(x)}{1}=-1