שינויים
=שימוש בכלל כלל לופיטל=
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה <math>x_0\in\mathbb{R}</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש
== מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow x_0}f^g</math>.
כאשר <math>L=M=0</math> '''או''' <math>L=1,M=\infty</math> '''או''' <math>L=\infty, M=0</math>.
בכל אחד מהמקרים נשתמש בדרך הבאה-
ראשית נבחין כי <math>f^g = e^{ln(f^g)} = e^{gln(f)}</math>,
שנית, נחשב את הגבול <math>K=\lim_{x\rightarrow x_0}gln(f)</math>.
לבסוף, קיבלנו כי מתקיים
:<math>\lim_{x\rightarrow x_0}f^g=e^K</math>
===דוגמא 6===
=משפט לופיטל והוכחתו=
נניח כי <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^+}g(x)=0</math> ונניח עוד כי <math>f,g</math> גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים <math>\lim_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L</math> אז מתקיים <math>\lim_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>
==הוכחה==
נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g} </math> רציפות שמקיימות <math> \tilde{f}=\begin{cases}
f\left(x\right) & x\neq a\\
0 & x=a
\end{cases} \tilde{g}=\begin{cases}
g\left(x\right) & x\neq a\\
0 & x=a
\end{cases} </math>
הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> שמקיימת <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))} </math>
ולכן נקבל <math>\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)} </math>
כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדויץ
[[קטגוריה:אינפי]]
